الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهاية تابع عند عدد حقيقي

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

  1. 1. ما نهاية هذا التابع عند 0 من اليمين؟

    f(x)=1x
    • أ)+∞
    • ب)0
    • ج)−∞

  2. 2. ما نهاية هذا التابع عند 0 من اليسار؟

    f(x)=1x
    • أ)+∞
    • ب)0
    • ج)−∞

  3. 3. ما معادلة المقارب الشاقولي للخطّ البياني لهذا التابع؟

    f(x)=1x−4
    • أ)x=4
    • ب)y=4
    • ج)x=0

  4. 4. ما نهاية هذا التابع عند 1؟

    f(x)=5x−1(x−1)2
    • أ)−∞
    • ب)لا وجود لها، لأنّ النهايتين الجانبيّتين مختلفتان
    • ج)+∞

  5. 5. تابعٌ معرّف عند 2 وقيمته هناك 3، وقيل إنّه لا نهاية له عند 2. هل هذا ممكن؟

    • أ)لا، لأنّ التابع معرّف عند 2
    • ب)لا، لأنّ النهاية هي قيمة التابع دائماً
    • ج)نعم، والكتاب يعطي مثالاً مضادّاً على ذلك

  6. 6. ما نهاية هذا التابع عند 0 من اليسار؟

    f(x)=∣x∣x
    • أ)1
    • ب)−1
    • ج)0

  7. 7. ما نهاية هذا التابع عند 0؟

    f(x)=∣x∣x
    • أ)0
    • ب)لا وجود لها، لأنّ النهايتين الجانبيّتين مختلفتان
    • ج)1

  8. 8. ما نهاية هذا التابع عند 1 من اليمين؟

    f(x)=x−3x−1
    • أ)−∞
    • ب)+∞
    • ج)1

  9. 9. ما نهاية هذا التابع عند 1 من اليسار؟

    f(x)=x−3x−1
    • أ)+∞
    • ب)−∞
    • ج)−2

  10. 10. ما معادلة المقارب الأفقي للخطّ البياني لهذا التابع؟

    f(x)=x−3x−1
    • أ)y=3
    • ب)x=1
    • ج)y=1

  11. 11. التابع المعطى معرّف على المجال ]0,+∞[. ما نهايته عند 0؟

    f(x)=1x
    • أ)0
    • ب)لا معنى للسؤال، لأنّ الصفر ليس من مجموعة التعريف
    • ج)هي +∞، والدراسة من اليمين وحدها

  12. 12. التابع g معرّف على [0,5]، ويساوي 1 على [0,2[ ويساوي 3 على [2,5]. ما نهايته عند 2 من اليسار؟

    • أ)3
    • ب)1
    • ج)لا وجود لها

  13. 13. أيّ العبارات الآتية يصف المقارب الشاقولي وصفاً صحيحاً؟

    • أ)المستقيم y=a حين تكبر قيم التابع بلا حدّ قرب a
    • ب)المستقيم x=a حين تكبر قيم التابع بلا حدّ بالقيمة المطلقة قرب a
    • ج)المستقيم الذي لا يقطعه الخطّ البياني في أيّ نقطة

  14. 14. ما نهاية هذا التابع عند −2 من اليمين؟

    f(x)=3x−5+2x+2
    • أ)−∞
    • ب)−11
    • ج)+∞

  15. 15. ما نهاية هذا التابع عند −1 من اليمين؟

    f(x)=2x−1x+1
    • أ)−∞
    • ب)+∞
    • ج)2

  16. 16. ما نهاية هذا التابع عند −1؟

    f(x)=5x+1x+1
    • أ)+∞
    • ب)لا وجود لها، لأنّ النهايتين الجانبيّتين مختلفتان
    • ج)5

سلّم التصحيح

  1. 1. أ صحيح. على اليمين يكون x موجباً وصغيراً، ومقلوب عدد موجب صغير عددٌ موجب كبير. وهذا أحد مثالَي الكتاب على النهايات الجانبيّة.
  2. 2. ج صحيح. على اليسار x سالب وصغير بالقيمة المطلقة، فالمقلوب سالب وكبير. والنهايتان الجانبيّتان مختلفتان، فلا نهاية للتابع عند 0.
  3. 3. أ صحيح. المقام ينعدم عند 4 والبسط لا ينعدم، فالقيم تكبر بلا حدّ قرب 4 والمقارب الشاقولي معادلته x=4.
  4. 4. ج صحيح. البسط يقترب من 4 وهو غير معدوم، والمقام مربّع موجب ينعدم، فالقيم تكبر بلا حدّ من الجهتين معاً و x=1 مقارب شاقولي.
  5. 5. ج صحيح. التابع الذي يساوي 1 على [0,2[ و 3 على [2,5] قيمته عند 2 هي 3، ولا نهاية له هناك، لأنّ القيم على اليسار تبقى 1.
  6. 6. ب صحيح. عند x<0 يكون ∣x∣=−x، فالكسر يساوي −1 على كامل اليسار، ونهايته من اليسار −1.
  7. 7. ب صحيح. lim⁡x→0−f(x)=−1 و lim⁡x→0+f(x)=+1، والنهاية عند 0 توجد فقط إذا تساوت الجهتان.
  8. 8. أ صحيح. البسط يقترب من −2 وهو سالب، والمقام موجب وصغير على اليمين، فسالبٌ على موجب صغير يعطي −∞.
  9. 9. أ صحيح. البسط سالب والمقام سالب وصغير بالقيمة المطلقة، وسالب على سالب موجب. الإشارة وحدها هي التي قلبت الجواب عن جهة اليمين.
  10. 10. ج صحيح. الحدّ الأكبر في البسط والمقام هو x في كليهما، فالنهاية عند الطرفين 1، والمقارب الأفقي معادلته y=1.
  11. 11. ج صحيح. مهما كبر M كان 1x>M متى كان 0<x<1M2. ومجموعة التعريف لا تسمح إلّا باليمين، فنكتب دليل الجهة 0+.
  12. 12. ب صحيح. على كامل المجال [0,2[ يكون g(x)=1، فالنهاية من اليسار 1. ولأنّها تخالف نهاية اليمين، لا نهاية للتابع عند 2.
  13. 13. ب صحيح. ويكفي أن يقع ذلك من جهة واحدة، ولا يلزم أن تتساوى الجهتان: 1x لا نهاية له عند 0 ومع ذلك x=0 مقارب شاقولي.
  14. 14. ج صحيح. الجزء 3x−5 يقترب من −11 وهو عدد منتهٍ، والكسر 2x+2 يكبر بلا حدّ على اليمين، فالمجموع يكبر بلا حدّ.
  15. 15. أ صحيح. البسط يقترب من −3 وهو سالب، والمقام x+1 موجب وصغير على اليمين، فالكسر سالب وكبير بالقيمة المطلقة.
  16. 16. ب صحيح. البسط يقترب من −4، والمقام يغيّر إشارته عند −1، فالنهاية −∞ من اليمين و +∞ من اليسار. والمستقيم x=−1 مقارب شاقولي رغم ذلك.