الاستمرار

الرسم يقترح، والحساب يحكم

أسهل طريق إلى فكرة الاستمرار هو النظر إلى الخطّ البياني. يقول الكتاب إنّ التابع مستمرّ على مجال حين يكون خطّه البياني مكوّناً من «قطعة واحدة»، أو حين نستطيع رسمه «دون رفع القلم» عن الورقة. ولاحظ أنّ الكتاب نفسه وضع هاتين العبارتين بين علامتي اقتباس: فهما وصف لما نراه، لا تعريف نحسب به.

خذ الآن تابعاً آخر $g$ معرّفاً على المجال نفسه $[-2,6]$، لكنّه يقفز عند $3$: كلّما اقتربنا من $3$ من جهة اليسار اقتربت قيمه من $1$، وكلّما اقتربنا من جهة اليمين اقتربت قيمه من $2$. القراءتان لا تلتقيان.

العددان مختلفان، فليس للتابع $g$ نهاية عند $3$، وخطّه البياني ينفصل هناك إلى قطعتين. ولاحظ كيف انتهى الأمر: بدأنا من الصورة وختمنا بحساب نهايتين. الصورة دلّتنا على موضع الشكّ، والنهاية هي التي حكمت.

انتبه: لا يُقبل «الخطّ البياني قطعة واحدة» جواباً في ورقة الامتحان. الرسم يدلّ ولا يبرهن، ودقّة القلم لا تكفي للتمييز بين قفزة صغيرة واتّصال. البرهان في كلّ حال هو الحساب: ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

التعريف: النهاية عند $a$ هي $f(a)$

ما الذي ينقص التابع $g$ عند $3$؟ قيمته هناك موجودة، والقيم من الجهتين تقترب من عددين، لكنّ العددين مختلفان فلا نهاية أصلاً. وحتى لو تساوت النهايتان من الجهتين على عدد واحد، يبقى سؤال أخير: هل ذلك العدد هو قيمة التابع نفسها عند النقطة؟

من هنا يأتي التعريف. الاستمرار عند نقطة $a$ يجمع ثلاثة شروط في سطر واحد: أن تكون $a$ من مجموعة التعريف فتوجد القيمة $f(a)$، وأن توجد النهاية ${\lim }_{x\to a}f(x)$، وأن يتساوى الاثنان.

ونضيف شرطاً على مجموعة التعريف نفسها: $D_f$ مؤلّفة من مجال أو من اجتماع مجالات غير مقتصرة على نقطة واحدة. والسبب واضح: لكي نتكلّم على اقتراب $x$ من $a$ يجب أن يكون حولها ما نقترب منه.

انتبه: ليس لدراسة استمرار تابع، عند نقطة لا تنتمي إلى مجموعة تعريفه، أيُّ معنى. التابع $x\mapsto \frac{1}{x}$ ليس «غير مستمرّ عند الصفر»، بل الصفر ليس من مجموعة تعريفه أصلاً، وهو مستمرّ على كامل مجموعة تعريفه ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

الاستمرار يمرّ عبر العمليّات

لا حاجة إلى برهان جديد هنا. الاستمرار مكتوب بالنهايات، ونحن نعرف من الدروس السابقة كيف تتصرّف النهايات مع الجمع والضرب والقسمة والتركيب. فما يصحّ هناك ينتقل إلى هنا كما هو.

انتبه: الشرط في القسمة ليس زينة. إذا انعدم المقام عند النقطة فالكسر غير معرّف هناك، والسؤال عن استمراره عند تلك النقطة بلا معنى. الجواب الصحيح في هذه الحال هو تحديد مجموعة التعريف أوّلاً، ثمّ القول إنّ التابع مستمرّ عليها كلّها.

التوابع التي نعرف استمرارها

الطريق الأقصر إلى الاستمرار في الامتحان ليس التعريف، بل قائمة قصيرة من التوابع المرجعيّة نعرف استمرارها سلفاً. وحجّة الكتاب في كلّها واحدة: هذه التوابع اشتقاقيّة، والاشتقاق يعطي الاستمرار كما سنرى في الفقرة التالية.

تأمّل السطر الأوّل جيّداً، ففيه درس صغير. الاشتقاق أعطانا الاستمرار على المجال المفتوح وحده، لأنّ الجذر ليس اشتقاقيّاً عند الصفر. أمّا الصفر نفسه فأُلحق بالمجال بالتعريف مباشرة، بحساب النهاية ومقارنتها بالقيمة. أي أنّ الطريقين يعملان معاً: القاعدة العامّة حيث تكفي، والتعريف عند النقطة العنيدة.

وبهذه القائمة يصير الحكم على تابع مركّب مسألة قراءة. مثلاً $f:x\mapsto \sqrt{x^2+4x+5}$ معرّف على $\mathbb{R}$ لأنّ ما تحت الجذر موجب تماماً دائماً، إذ نكتبه بالشكل القانوني:

ثمّ نسمّي $g:x\mapsto x^2+4x+5$ و $h:x\mapsto \sqrt{x}$، فيكون $f(x)=h(g(x))$ على $\mathbb{R}$. والتابع $g$ كثير حدود مستمرّ على $\mathbb{R}$، والتابع $h$ مستمرّ على مجموعة تعريفه، فالمركّب $f$ مستمرّ على $\mathbb{R}$. وبالمثل $x\mapsto \sin x+\cos x$ مستمرّ على $\mathbb{R}$ لأنّه مجموع تابعين مستمرّين عليها.

تذكّر: كلّ تابع نبنيه من كثيرات الحدود والكسور والجذر والجيب وجيب التمام، بجمع أو ضرب أو قسمة أو تركيب، هو مستمرّ على مجموعة تعريفه. فالعمل الحقيقي في السؤال ليس إثبات الاستمرار، بل تحديد مجموعة التعريف بدقّة.

بين الاشتقاق والاستمرار

بقي أن نثبت الجملة التي اتّكأنا عليها في القائمة أعلاه: الاشتقاق يعطي الاستمرار. والبرهان قصير، ويستحقّ أن يُقرأ لأنّه يُظهر من أين تأتي المساواة ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

أمّا البرهان فهذا: نفترض $f$ اشتقاقيّاً عند $a$، ونضع $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ من أجل $x\mathrm{\ne }a$. كون $f$ اشتقاقيّاً يعني بالضبط أنّ لـ $g$ نهاية منتهية عند $a$ هي $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. ومن تعريف $g$ نكتب $f(x)-f(a)=(x-a)g(x)$، وبضرب النهايتين نجد ${\lim }_{x\to a}(f(x)-f(a))=0\times f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$، أي ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

والسؤال الذي يطرح نفسه فوراً: وهل يصحّ العكس؟ لا. وأشهر شاهد على ذلك هو تابع الجذر التربيعي عند الصفر. رأينا أنّه مستمرّ هناك، ومع ذلك نحسب معدّل تغيّره فنجد:

النهاية غير منتهية، فالتابع غير اشتقاقي عند الصفر. وترجمة ذلك على الرسم أنّ الخطّ البياني يقبل في المبدأ مماساً «شاقوليّاً»: الميل يكبر بلا حدّ، والمماس ينتصب موازياً لمحور التراتيب من دون أن ينقطع الخطّ.

انتبه: استمرار تابع عند $a$ لا يعني بالضرورة قابليّة اشتقاقه في $a$. التابعان $x\mapsto \sqrt{x}$ و $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ مستمرّان عند الصفر وغير اشتقاقيّين عنده. السهم يسير في اتّجاه واحد: من الاشتقاق إلى الاستمرار، لا العكس.

مثال محلول: تابع مركّب

نجمع الآن كلّ ما سبق في مسألة واحدة من تمارين الكتاب. اقرأ الخطوة، اعمل على ورقتك، ثمّ اكشف الجواب.

تذكّر: الاستمرار هو الشرط الذي يفتح الدرس التالي. من دونه لا مبرهنة القيمة الوسطى ولا ضمان لوجود حلّ للمعادلة $f(x)=k$، ومعه ومع الاطّراد التامّ يصير الحلّ موجوداً ووحيداً.