الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: العمليّات على النهايات

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما نهاية هذا التابع كثير الحدود عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = - x^{3} + x^{2} - x + 1$
- أ) $+ \infty$
- ب) $- \infty$
- ج) $1$
2. وما نهاية التابع نفسه عند $- \infty$ ؟
$f (x) = - x^{3} + x^{2} - x + 1$
- أ) $- \infty$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
3. ما نهاية هذا التابع عند $- \infty$ ؟
$f (x) = - 3 x^{4} + 1$
- أ) $+ \infty$
- ب) $1$
- ج) $- \infty$
4. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = 8 x^{4} - 12 x^{3} + 5 x^{2} - x$
- أ) $- \infty$
- ب) $+ \infty$
- ج) $8$
5. ما نهاية هذا التابع عند $- \infty$ ؟
$f (x) = 5 x^{3} - 3 x - 1$
- أ) $- \infty$
- ب) $+ \infty$
- ج) $- 1$
6. علمنا أنّ $\lim f = 3$ وأنّ $\lim g = + \infty$ عند النقطة نفسها. ما نهاية $f + g$ ؟
- أ) $3$
- ب)لا يعطي الجدول جواباً، وهي حالة عدم تعيين
- ج) $+ \infty$
7. علمنا أنّ $\lim f = 2$ وأنّ $\lim g = + \infty$ عند النقطة نفسها. ما نهاية الكسر $\frac{f}{g}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج)لا يعطي الجدول جواباً، وهي حالة عدم تعيين
8. علمنا أنّ $\lim f = + \infty$ وأنّ $\lim g = - \infty$ عند النقطة نفسها. ما نهاية $f + g$ ؟
- أ)لا يعطي الجدول جواباً، وهي حالة عدم تعيين
- ب) $0$
- ج) $- \infty$
9. ما نهاية هذا التابع حين تقترب $x$ من $1$ وهي أصغر من $1$ ؟
$f (x) = \frac{2}{x - 1}$
- أ) $+ \infty$
- ب) $- \infty$
- ج) $2$
10. ما نهاية هذا التابع عند $0$ ؟
$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$
- أ) $\frac{1}{2}$
- ب) $0$
- ج)لا وجود لها، لأنّ المقام ينعدم
11. ما نهاية هذا التابع عند $0$ ؟
$h (x) = \frac{x^{2} - x}{\sin x}$
- أ) $0$
- ب) $- 1$
- ج) $1$
12. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = \frac{x + \sqrt{x}}{x + 1}$
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
13. ما نهاية هذا التابع عند $- \infty$ ؟
$f (x) = \frac{2 x + 6}{x^{2} - 3 x + 1}$
- أ) $0$
- ب) $2$
- ج) $- \infty$
14. ما نهاية هذا التابع عند $1$ ؟
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$
- أ) $1$
- ب) $- 1$
- ج) $+ \infty$
15. ما نهاية هذا التابع الكسري عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 5}$
- أ) $- \frac{1}{5}$
- ب) $+ \infty$
- ج) $3$
16. أيّ من هذه الصيغ الثلاث ليست صيغة عدم تعيين، أي أنّ الجدول يعطي جوابها مباشرة؟
- أ) $\frac{0}{0}$
- ب) $0 \times (\pm \infty)$
- ج) $\frac{ℓ}{\pm \infty}$

سلّم التصحيح

1. ب صحيح. أعلى درجة هي $3$ ، والحدّ المُسيْطِر $- x^{3}$ ، ونهايته عند $+ \infty$ هي $- \infty$ .
2. ج صحيح. $\lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$ ، والمعامل $- 1$ يقلب الإشارة، فالنتيجة $+ \infty$ .
3. ج صحيح. $\lim_{x \to - \infty} x^{4} = + \infty$ ، والمعامل سالب، فالنتيجة $- \infty$ عند الطرفين معاً.
4. ب صحيح. الحدّ المُسيْطِر $8 x^{4}$ ، ونهايته $+ \infty$ . الحدود الأخرى تذوب داخل القوس.
5. أ صحيح. الحدّ المُسيْطِر $5 x^{3}$ ، والأس فردي، فنهايته عند $- \infty$ هي $- \infty$ .
6. ج صحيح. عدد ثابت مضافاً إلى ما يكبر بلا حدّ يبقى كبيراً بلا حدّ.
7. أ صحيح. بسط نهايته عدد منتهٍ ومقام يكبر بلا حدّ يعطي كسراً يصغر ويتجمّع حول $0$ .
8. أ صحيح. هذه الخانة الحمراء الوحيدة في جدول المجموع، ونكتبها $+ \infty - \infty$ .
9. ب صحيح. البسط موجب والمقام يقترب من $0$ بقيم سالبة، فالكسر يكبر بالقيمة المطلقة نحو $- \infty$ .
10. أ صحيح. بالضرب بالمرافق يصير $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}$ ، ومقامه نهايته $2$ .
11. ب صحيح. بإخراج $x$ نكتب $h (x) = \frac{x}{\sin x} \times (x - 1)$ ، ونهاية الأوّل $1$ ونهاية الثاني $- 1$ .
12. أ صحيح. بإخراج $x$ من البسط والمقام يبقى $\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{1}{x}}$ ، ونهاية كلّ كسر داخلي $0$ .
13. أ صحيح. النسبة بين الحدّين المُسيْطِرين هي $\frac{2 x}{x^{2}} = \frac{2}{x}$ ، ونهايتها $0$ ، فمحور الفواصل مقارب أفقي.
14. ب صحيح. كثير الحدود مستمرّ، فنعوّض مباشرة: $1 - 2 + 1 - 1 = - 1$ .
15. ج صحيح. $\frac{3 x^{2}}{x^{2}} = 3$ ، فالنهاية $3$ والمستقيم $y = 3$ مقارب أفقي.
16. ج صحيح. بسط نهايته عدد منتهٍ ومقام يكبر بلا حدّ يعطي $0$ ، وهذا سطر مقروء في الجدول لا خانة حمراء.