الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهاية متتالية : تذكرة

نهاية متتالية . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ما الذي يشترطه تعريف النهاية المنتهية بالضبط؟
- أ)أن يضمّ كلُّ مجال مفتوح مركزه $ℓ$ كلّ الحدود بدءاً من دليل
- ب)أن يوجد مجالٌ مفتوح مركزه $ℓ$ يضمّ كلّ الحدود بدءاً من دليل
- ج)أن تقترب الحدود من $ℓ$ كلّما كبر $n$
2. المتتالية $u_{n} = (- 1)^{n}$ . كلّ حدودها في المجال $[- 1, 1]$ . هل هي متقاربة؟
- أ)نعم، ونهايتها صفر لأنّها تتناوب حول الصفر
- ب)نعم، لأنّ عدد قيمها منتهٍ
- ج)لا، وهذا يبيّن أنّ الحدّية لا تكفي للتقارب
3. ما نهاية $q^{n}$ عند $q = - 1$ ؟
- أ)لا نهاية لها
- ب)الصفر
- ج) $- \infty$
4. وجدتَ أنّ $n_{0} = 399$ يحقّق المطلوب. هل $n_{0} = 500$ جوابٌ صحيح أيضاً؟
- أ)لا، الجواب وحيدٌ لأنّه ناتج حساب
- ب)نعم، وكذلك كلّ عددٍ أكبر
- ج)لا، لأنّه أكبر من اللازم
5. لماذا يعيد الكتاب الحساب بـ $α$ بعد أن حسبه بـ $0.01$ ؟
- أ)ليختصر الحساب في المرّات القادمة
- ب)لأنّ التعريف يشترط كلّ مجال، ومجالٌ واحدٌ لا يبرهن شيئاً
- ج)لأنّ $0.01$ ليس دقيقاً بما يكفي
6. في الخطوة $\frac{4}{n + 1} < \frac{1}{100} ⟺ n + 1 > 400$ ، ما الذي يبرّر قلب المتراجحة؟
- أ)أنّ $4$ و $100$ عددان موجبان
- ب)أنّ المتراجحة صارمة
- ج)أنّ $n + 1$ موجبٌ تماماً
7. المتتالية $u_{n} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \dots - \frac{1}{2^{n}}$ . ما الخطوة الأولى؟
- أ)حساب الحدود الأولى وتخمين النمط
- ب)تطبيق مبرهنة الحصر
- ج)وضع المطروحات في قوسٍ واحد، مع الانتباه إلى انقلاب الإشارات
8. متتاليةٌ كلّ حدودها موجبةٌ تماماً وهي متقاربة. ماذا نعرف عن نهايتها؟
- أ)أنّها موجبةٌ تماماً
- ب)أنّها تساوي الصفر
- ج)أنّها موجبة، أي أكبر من الصفر أو تساويه
9. أيّ المتتاليات الآتية ليست من المتتاليات المرجعيّة التي يذكرها الكتاب؟
- أ) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$
- ب) $u_{n} = (- 1)^{n}$
- ج) $u_{n} = n^{2}$
10. ما الفرق بين تعريف $\lim u_{n} = + \infty$ وتعريف $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ ؟
- أ)تعريف المتتالية أضعف، لأنّ $n$ لا يأخذ إلّا قيماً صحيحة
- ب)العتبة تصير دليلاً، ولا شيء غير ذلك
- ج)لا علاقة بينهما، فالنهايتان مفهومان مختلفان
11. المتتاليتان $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متقاربتان و $u_{n} < v_{n}$ عند كلّ $n$ . ماذا نستنتج؟
- أ) $\lim u_{n} \leq \lim v_{n}$
- ب) $\lim u_{n} < \lim v_{n}$
- ج)أنّ $u_{n}$ و $v_{n}$ لا يمكن أن تكون لهما النهاية نفسها
12. بعد اختصار المجموع وجدتَ $u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ . كلّ حدودها موجبةٌ تماماً. هل تبلغ الصفر؟
- أ)لا. النهاية قيمةٌ تُقارَب ولا تُبلَغ هنا
- ب)نعم، عند دليلٍ كبيرٍ بما يكفي
- ج)لا، ولذلك نهايتها ليست الصفر

سلّم التصحيح

1. أ نعم، وهذه هي الكلمة الحاسمة: «كلُّ مجال». وهي السبب في أنّ الكتاب يعيد الحساب بتسامحٍ عامّ $α$ بعد أن حسبه برقم.
2. ج نعم. مجالٌ واحدٌ يضمّها لا يعني شيئاً؛ خذ مجالاً ضيّقاً حول $1$ وسترى أنّ نصف الحدود يقع خارجه، ونصفٌ لا نهائيٌّ منها.
3. أ نعم. المبرهنة تضع $q \leq - 1$ في حالةٍ رابعة مستقلّة، وتقول صراحةً إنّه ليس للمتتالية نهاية.
4. ب نعم. السؤال يطلب عتبة، لا قيمة. أيّ عددٍ أكبر يحقّق الشرط أيضاً، وهذا ما يقوله الكتاب حرفيّاً.
5. ب نعم. الحساب برقمٍ يعطي مثالاً، والحساب بحرفٍ يعطي برهاناً، ما دام الحساب لم يستعمل قيمة الرقم في أيّ خطوة.
6. ج نعم، وهذه بالضبط الخطوة التي يضع الكتاب عندها كلمة «علّل». لو كان المقام سالباً لانقلبت الجهة مرّةً أخرى.
7. ج نعم. أمام القوس إشارة ناقص، فتصير إشارات الداخل موجبة، ويظهر مجموع متتاليةٍ هندسيّة أساسها $\frac{1}{2}$ .
8. ج نعم، وهذا ما يبرهنه الكتاب بنقض الفرض. وهو أضعف ممّا يتوقّعه أكثر الطلاب، وهو الصحيح.
9. ب نعم. المتتاليات المرجعيّة كلّها لها نهاية، إمّا الصفر وإمّا $+ \infty$ . وهذه ليست لها نهايةٌ أصلاً، فهي المثال المضادّ لا المرجع.
10. ب نعم، وهذا ما يقوله الكتاب: التماثل بين التعريفين واضح، لأنّ المتتاليات حالاتٌ خاصّة من التوابع. $x > A$ تصير $n > n_{0}$ .
11. أ نعم. في العبور إلى النهاية يصير $<$ هو $\leq$ ، وهذه قاعدةٌ تُحفظ.
12. أ نعم. ${(\frac{1}{2})}^{n}$ موجبةٌ تماماً عند كلّ $n$ ، والنهاية صفر. لا تناقض بين الأمرين، وهذا بالضبط مضمون السؤال الأوّل في «تكريساً للفهم».