الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: تقارب المتتاليات المطَّردة

نهاية متتالية . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. متتاليةٌ متناقصة ومحدودة من الأعلى. ماذا تعطي مبرهنة 8؟
- أ)أنّها متقاربة
- ب)لا شيء. الحدّ في الجهة الخطأ
- ج)أنّها متباعدة إلى $- \infty$
2. ما نفي العبارة «المتتالية محدودة من الأعلى»؟
- أ)كلّ الحدود أكبر من أيّ عددٍ نختاره
- ب)مهما كبر العدد $A$ وُجد حدٌّ $u_{N}$ يحقّق $u_{N} > A$
- ج)المتتالية محدودة من الأدنى
3. وجدتَ أنّ $M = 100$ عنصرٌ راجح على متتالية. هل $M = 1000$ عنصرٌ راجح أيضاً؟
- أ)لا، العنصر الراجح وحيد
- ب)فقط إذا كانت المتتالية متزايدة
- ج)نعم، وكذلك كلّ عددٍ أكبر
4. المتتالية $u_{n} = n + (- 1)^{n} n$ . أيّ العبارتين صحيحة؟
- أ)غير محدودة من الأعلى، ولا تسعى إلى $+ \infty$
- ب)غير محدودة من الأعلى، إذن تسعى إلى $+ \infty$
- ج)محدودة، لأنّ نصف حدودها صفر
5. المتتالية $u_{n} = 2 n + (- 1)^{n} n$ تسعى إلى $+ \infty$ . هل هي متزايدة؟
- أ)نعم، وإلّا لما سعت إلى $+ \infty$
- ب)لا يمكن الحكم من دون حساب كلّ الحدود
- ج)لا. تكبر في المجمل من دون ترتيب
6. لماذا يقول الكتاب عن مبرهنة 8 إنّه يقبلها دون إثبات؟
- أ)لأنّ البرهان طويل ويُترك تمريناً
- ب)لأنّها خاصّةٌ لمجموعة الأعداد الحقيقيّة نفسها
- ج)لأنّها واضحةٌ من الرسم
7. مبرهنة 8 أعطتك أنّ المتتالية متقاربة. ماذا تعرف عن قيمة النهاية؟
- أ)أنّها تساوي الحدّ الراجح الذي استعملتَه
- ب)لا شيء بعد. المبرهنة تثبت الوجود فقط
- ج)أنّها تساوي أوّل حدٍّ من حدود المتتالية
8. في التطبيق على $u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}}$ ، ما الترتيب الصحيح؟
- أ)الشرطان أوّلاً، ثمّ المعادلة
- ب)حلّ $f (x) = x$ أوّلاً، ثمّ تحقّق من الشرطين
- ج)الترتيب لا يهمّ ما دامت النتيجة صحيحة
9. معادلة النقطة الصامدة $x^{2} - x - 1 = 0$ لها جذران. أيّهما النهاية؟
- أ) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ، لأنّ الجذر الآخر سالب والنهاية موجبة
- ب)الأكبر دائماً
- ج)كلاهما، فالمتتالية لها نهايتان
10. أيّ الشرطين تحتاج القاعدة $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$ على أعدادٍ موجبةٍ تماماً؟
- أ) $a \leq c$ و $b \leq d$
- ب) $a \leq c$ وحده
- ج) $a \leq c$ و $b \geq d$
11. من $a \leq b$ مع $a b > 0$ ، ماذا نستنتج عن المقلوبين؟
- أ) $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$
- ب) $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$
- ج)لا شيء من دون معرفة الإشارتين بالتفصيل
12. لماذا لا تُذكر الحدّية من الأدنى في شرط المتتالية المتزايدة؟
- أ)لأنّها غير لازمة للتقارب
- ب)لأنّ الكتاب أغفلها سهواً
- ج)لأنّها متحقّقة دائماً بحدّها الأوّل

سلّم التصحيح

1. ب نعم. المتناقصة تُقرن بحدٍّ من الأدنى، وهو الذي يوقف النزول. المتناقصة محدودةٌ من الأعلى بحدّها الأوّل على أيّ حال، فالمعطى مجّانيّ.
2. ب نعم، وهذا نصّ الكتاب. شاهدٌ واحد لكلّ عدد يكفي، وهو بالضبط ما يستعمله برهان مبرهنة 7.
3. ج نعم. إذا كان $u_{n} \leq 100$ عند كلّ $n$ فبالتأكيد $u_{n} \leq 1000$ . الحدّ ليس وحيداً أبداً، والكتاب يقوله في ملاحظةٍ صريحة.
4. أ نعم، وهذا مثال الكتاب المضادّ. الحدود الزوجيّة $4 n$ تكبر بلا حدّ، والفرديّة تساوي صفراً. خذ $A = 1$ : المجال $] 1, + \infty [$ يفوته عددٌ لا نهائيٌّ من الحدود، وهذا يكفي لهدم النهاية.
5. ج نعم، وهذه عبارة الكتاب: في تزايدٍ ولكن دون ترتيب. $u_{4} = 12$ أكبر من $u_{5} = 5$ ، ومع ذلك $u_{n} \geq n$ فتبلغ اللانهاية.
6. ب نعم، وهذا نصّ الكتاب: هذه خاصّة مهمّة من خواصّ مجموعة الأعداد الحقيقيّة، سنقبلها دون إثبات. ليست نتيجةً تُشتقّ ممّا سبقها.
7. ب نعم، والكتاب يقوله في ملاحظةٍ صريحة: لا تعطي هذه المبرهنة نهاية المتتالية، إنّها تثبت فقط وجود نهايةٍ حقيقيّة لها.
8. أ نعم. الاطّراد والحدّ يعطيان وجود $ℓ$ ، وبعده فقط يجوز تمرير النهاية داخل التابع وحلّ $f (x) = x$ .
9. أ نعم. $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ سالب، وكلّ حدود المتتالية موجبة، فالنهاية موجبة ولا يمكن أن تكون هو.
10. ج نعم. البسط يصغر والمقام يكبر، فالكسر كلّه يصغر. الاتّجاهان متعاكسان، وهذا ما يُنسى.
11. أ نعم، والشرط $a b > 0$ جزءٌ من القاعدة: لو كان $a$ سالباً و $b$ موجباً لانهار الاستنتاج.
12. ج نعم. المتزايدة لا تنزل تحت $u_{0}$ أبداً، فالحدّ من الأدنى مجّانيّ ولا يضيف معلومة. المفيد هو الحدّ الذي يوقف الصعود.