الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: متتاليات متجاورة

نهاية متتالية . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. كم شرطاً يطلبه تعريف المتتاليتين المتجاورتين؟
- أ)شرطان: إحداهما متزايدة والأخرى متناقصة
- ب)شرطٌ واحد: $\lim (s_{n} - t_{n}) = 0$
- ج)ثلاثة: اطّرادٌ صاعد، واطّرادٌ نازل، وفرقٌ يسعى إلى الصفر
- د)أربعة: الثلاثة، مع أن تكونا محدودتين
2. المتتاليتان $t_{n} = \frac{1}{n}$ و $s_{n} = \frac{2}{n}$ معرّفتان من أجل $n \geq 1$ . هل هما متجاورتان؟
- أ)لا، لأنّ كلتيهما متناقصة
- ب)نعم، لأنّ الفرق $\frac{1}{n}$ يسعى إلى الصفر
- ج)نعم، ونهايتهما المشتركة $0$
3. في برهان مبرهنة 9، ما الذي يعطي $s_{n} \geq t_{n}$ ؟
- أ)التعريف، فهو يرتّب $t_{n}$ تحت $s_{n}$
- ب)أنّ $(s_{n} - t_{n})$ متناقصة ونهايتها صفر
- ج)أنّ المتتاليتين محدودتان
4. ماذا تعطي مبرهنة 9 بالضبط؟
- أ)وجود النهاية وقيمتها
- ب)أنّ النهاية هي $\frac{t_{0} + s_{0}}{2}$
- ج)وجود نهايةٍ واحدة مشتركة للمتتاليتين
5. في المثال $t_{n + 1} = \frac{t_{n} + 2 s_{n}}{3}$ و $s_{n + 1} = \frac{t_{n} + 3 s_{n}}{4}$ ، ما أساس المتتالية الهندسيّة $h_{n} = s_{n} - t_{n}$ ؟
- أ) $\frac{1}{7}$
- ب) $\frac{1}{12}$
- ج) $\frac{2}{3}$
6. لماذا كان $u_{n} = 3 t_{n} + 8 s_{n}$ ثابتاً مفيداً؟
- أ)لأنّه يربط النهايتين بمعادلةٍ عدديّة: $99 = 11 ℓ$
- ب)لأنّه يثبت أنّ المتتاليتين متجاورتان
- ج)لأنّه يثبت أنّ المتتاليتين متقاربتان
7. في خوارزميّة تنصيف المجال لحصر $\sqrt{2}$ ، ما طول المجال بعد $n$ خطوة؟
- أ) $\frac{1}{2^{n}}$
- ب) $\frac{1}{2 n}$
- ج) $\frac{1}{n^{2}}$
8. في الجدول، $x_{n}$ يساوي $\frac{181}{128}$ من $n = 7$ إلى $n = 11$ . ما تفسير ذلك؟
- أ)خطأٌ في الجدول
- ب)لأنّ $(x_{n})$ بلغت نهايتها عند $n = 7$
- ج)في كلّ خطوة يتغيّر حدٌّ واحد فقط، والآخر يُنقل كما هو
9. المتتاليتان $x_{n} = 2 - \frac{1}{n}$ و $y_{n} = 2 + \frac{1}{n^{2}}$ من أجل $n \geq 1$ : هل هما متجاورتان؟
- أ)لا، لأنّ الفرق لا يسعى إلى الصفر
- ب)نعم، ونهايتهما المشتركة $0$
- ج)نعم، ونهايتهما المشتركة $2$
10. قبل تطبيق مبرهنة 9 على متتاليتين، ما الذي يجب التأكّد منه أوّلاً وكثيراً ما يُنسى؟
- أ)أن تكون كلتاهما موجبة
- ب)أن تكونا معرّفتين من الدليل نفسه
- ج)أن يكون $t_{0} < s_{0}$ صراحةً
11. المتتاليتان $a_{n} = 3 - \frac{1}{n}$ و $b_{n} = 3 + \frac{2}{n}$ ، من أجل $n \geq 1$ ، متجاورتان. أيّ متراجحة تصحّ لكلّ $n$ ؟
- أ) $a_{n} \geq b_{n}$ ، لأنّ الفرق يُكتب بالرمز الأوّل أوّلاً فيكون موجباً
- ب) $b_{n} \geq a_{n}$ ، لأنّ $(b_{n})$ هي المتناقصة هنا
- ج)لا تصحّ متراجحةٌ بينهما، لأنّ تعريف 5 لا يذكر الترتيب
12. الخطوة الثانية من برهان مبرهنة 9 تقول: $(s_{n} - t_{n})$ متناقصةٌ ونهايتها صفر، فتقترب منه من فوق وكلّ حدودها موجبة. لكنّ $w_{n} = - \frac{1}{n}$ ، من أجل $n \geq 1$ ، نهايتها صفر وكلّ حدودها سالبة. أين الفرق؟
- أ) $(w_{n})$ متزايدة لا متناقصة، والخطوة تستعمل الاطّراد مع النهاية معاً
- ب)لا فرق يُذكر: $(w_{n})$ تقترب من الصفر من تحت، وكذلك يمكن لمتتاليةٍ متناقصة
- ج)الفرق أنّ حدود $(s_{n} - t_{n})$ موجبةٌ بحكم تعريف 5، فلا حاجة إلى هذه الخطوة
13. في خوارزميّة التنصيف، سمِّ $m_{n}$ منتصف المجال $[x_{n - 1}, y_{n - 1}]$ ، وهو الحدّ الجديد في السطر $n$ من الجدول: $m_{1} = \frac{3}{2}$ ، $m_{2} = \frac{5}{4}$ ، $m_{3} = \frac{11}{8}$ ، $m_{4} = \frac{23}{16}$ ، $m_{5} = \frac{45}{32}$ ، … وهي متقاربة من $\sqrt{2}$ ، لأنّ $m_{n}$ طرفٌ للمجال $[x_{n}, y_{n}]$ الذي يحوي $\sqrt{2}$ وطوله $\frac{1}{2^{n}}$ . فهل $(m_{n})_{n \geq 1}$ مطّردة؟
- أ)نعم، لأنّ كلّ متتالية متقاربة مطّردة
- ب)نعم، لأنّها متزايدة: كلّ منتصفٍ أكبر من الذي قبله
- ج)لا، وليس في ذلك ما ينقض تقاربها
14. في خوارزميّة التنصيف، $m$ هو منتصف $[x_{n - 1}, y_{n - 1}]$ . لماذا تكفي مقارنة $m^{2}$ بـ $2$ لنعرف في أيّ نصفٍ يقع $\sqrt{2}$ ؟
- أ)لأنّ التابع $x \mapsto x^{2}$ متزايد تماماً على $[0, + \infty [$ ، و $m$ موجب
- ب)لأنّ التابع $x \mapsto x^{2}$ متزايد تماماً على $R$ كلّها
- ج)لأنّ المنتصف $m$ يقع دائماً تحت $\sqrt{2}$ ، والمقارنة تؤكّد ذلك فحسب
15. في مثال الكتاب $t_{0} = 1$ و $s_{0} = 12$ ، مع $t_{n + 1} = \frac{t_{n} + 2 s_{n}}{3}$ و $s_{n + 1} = \frac{t_{n} + 3 s_{n}}{4}$ . ما $t_{1}$ و $s_{1}$ ؟
- أ) $t_{1} = \frac{25}{3}, s_{1} = \frac{133}{12}$
- ب) $t_{1} = \frac{25}{3}, s_{1} = \frac{37}{4}$
- ج) $t_{1} = \frac{37}{4}, s_{1} = \frac{25}{3}$
16. في المثال نفسه، حيث $t_{n + 1} - t_{n} = \frac{2}{3} (s_{n} - t_{n})$ و $s_{n + 1} - s_{n} = - \frac{1}{4} (s_{n} - t_{n})$ : ما الشرط على العددين $a$ و $b$ غير المعدومين حتّى تكون المتتالية $(v_{n})$ المعرّفة بـ $v_{n} = a t_{n} + b s_{n}$ ثابتة؟
- أ) $3 a = 2 b$
- ب) $8 a = 3 b$
- ج) $3 a = 8 b$
- د) $a = b$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، والثلاثة تُقرأ معاً. إسقاط أيّ واحدٍ منها يهدم النتيجة.
2. أ نعم. فرقهما $\frac{1}{n}$ يسعى إلى الصفر فعلاً، لكنّ التعريف يطلب أن تصعد إحداهما وتنزل الأخرى.
3. ب نعم. متناقصةٌ تسعى إلى الصفر تقترب منه من فوق: لو كان حدٌّ منها سالباً لبقي كلّ ما بعده لا يزيد عنه، ولنزلت النهاية تحت الصفر.
4. ج نعم، الوجود والاشتراك. القيمة ليست جزءاً من المبرهنة.
5. ب نعم. $h_{n + 1} = \frac{3 t_{n} + 9 s_{n}}{12} - \frac{4 t_{n} + 8 s_{n}}{12} = \frac{1}{12} (s_{n} - t_{n})$ .
6. أ نعم. الثبات يعطي عدداً، والعمليات على النهايات تحوّله إلى $11 ℓ = 99$ ، ومنه $ℓ = 9$ .
7. أ نعم. الطول يُنصَّف في كلّ خطوة، والطول الابتدائي $y_{0} - x_{0} = 1$ .
8. ج نعم، ولهذا المتتاليتان متزايدة ومتناقصة بالمعنى الواسع، لا تماماً.
9. ج نعم. $(x_{n})$ متزايدة، $(y_{n})$ متناقصة، و $y_{n} - x_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}$ يسعى إلى الصفر.
10. ب نعم. $s_{n} = \frac{n + 1}{n}$ يفرض $n \geq 1$ ، ومقارنتها بمتتاليةٍ من $n \geq 0$ بلا انتباهٍ خطأ.
11. ب نعم. بالحساب $a_{1} = 2$ و $a_{2} = \frac{5}{2}$ ، فـ $(a_{n})$ هي الصاعدة؛ و $b_{1} = 5$ و $b_{2} = 4$ ، فـ $(b_{n})$ هي النازلة. والخطوة الثانية من برهان مبرهنة 9 تعطي في هذه الحالة $b_{n} \geq a_{n}$ بالمعنى الواسع. أمّا كون الفرق $b_{n} - a_{n} = \frac{3}{n}$ موجباً تماماً فمن حساب هذا المثال، لا من المبرهنة.
12. أ نعم، والشرطان يعملان معاً. لو كان في متتاليةٍ متناقصة حدٌّ سالبٌ تماماً عند دليلٍ ما، لبقي كلّ ما بعده لا يزيد عنه، فما بلغت النهاية الصفر. أمّا $(w_{n})$ فتصعد نحو الصفر من تحت، والنهاية وحدها لا تمنع الحدود السالبة. ولهذا يثبت البرهان في خطوته الأولى أنّ $(s_{n} - t_{n})$ متناقصة، قبل أن يستعمل نهايتها في الثانية.
13. ج نعم. $m_{1} = \frac{3}{2}$ ثمّ $m_{2} = \frac{5}{4}$ نزول، ثمّ $m_{3} = \frac{11}{8}$ و $m_{4} = \frac{23}{16}$ صعودان، ثمّ $m_{5} = \frac{45}{32}$ نزول: لا قاعدة في الاتّجاه. ومع ذلك تتقارب، لأنّ الحصر يضيق في كلّ خطوة. وفقرة «أخطاء يجب تجنّبها» في آخر الوحدة تقول ذلك: متتالية متقاربة ليست بالضرورة مطّردة. أمّا مبرهنة 9 فتنطبق على $(x_{n})$ و $(y_{n})$ لأنّهما متجاورتان بالشروط الثلاثة، لا على $(m_{n})$ .
14. أ نعم، وهي أوّل جملةٍ في القسم الأخير من الدرس، حيث نحصر $\sqrt{2}$ : «التابع $x \mapsto x^{2}$ متزايدٌ تماماً على $[0, + \infty [$ ، وهذا وحده يكفي». و $m$ محصورٌ بين $x_{n - 1}$ و $y_{n - 1}$ وهما موجبان، فهو موجب. والتزايد التامّ ينقل الترتيب بين عددين موجبين إلى الترتيب بين مربّعيهما، في الاتّجاهين: من $m^{2} > 2$ يخرج $m > \sqrt{2}$ ، ومن $m^{2} < 2$ يخرج $m < \sqrt{2}$ . فمقارنةٌ واحدة تعيّن الحدّ الذي يُستبدل، من دون أن نعرف $\sqrt{2}$ نفسه.
15. ب نعم. $t_{1} = \frac{1 + 2 (12)}{3} = \frac{25}{3}$ و $s_{1} = \frac{1 + 3 (12)}{4} = \frac{37}{4}$ . والحصر ضاق كما يصفه أوّل الدرس: $1 < \frac{25}{3} < \frac{37}{4} < 12$ ، والفرق نزل من $h_{0} = 11$ إلى $h_{1} = \frac{11}{12}$ ، موافقاً للخطوة الأولى من الحلّ: $h_{n + 1} = \frac{1}{12} h_{n}$ . والنهاية $9$ واقعة بين الحدّين الجديدين.
16. ب نعم. بالطرح $v_{n + 1} - v_{n} = (\frac{2 a}{3} - \frac{b}{4}) (s_{n} - t_{n})$ ، والفرق $s_{n} - t_{n}$ موجبٌ دائماً بالخطوة الأولى من الحلّ، فالشرط هو $\frac{2 a}{3} = \frac{b}{4}$ ، أي $8 a = 3 b$ . وهذا يفسّر نسبة الوزنين $3 : 8$ في $u_{n} = 3 t_{n} + 8 s_{n}$ ، والكتاب اختار أصغر زوجٍ صحيحٍ يحقّقها؛ و $(6, 16)$ يصلح أيضاً وقيمته $198$ .