الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: عموميّات عن المتتاليات

تذكرة بالمتتاليات، والإثبات بالتدريج . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. المتتالية $(u_{n})$ معرَّفة بالحدّ العامّ $u_{n} = \frac{1}{n^{2} - 4}$ . ما أصغر دليلٍ ابتدائيّ صالح؟
- أ) $n_{0} = 3$
- ب) $n_{0} = 0$
- ج) $n_{0} = 2$
2. كم حدّاً للمتتالية $u_{n} = (- 1)^{n}$ ؟
- أ)حدّان اثنان، لأنّها لا تأخذ إلّا القيمتين $1$ و $- 1$
- ب)لا يمكن تحديد العدد ما دام الدليل الابتدائيّ غير معطى
- ج)عددٌ لا نهائيّ من الحدود
3. متى يكون التعريف التدريجيّ $u_{n + 1} = f (u_{n})$ مع $u_{0} \in D$ سليماً إلى ما لا نهاية؟
- أ)إذا كان $f (x)$ عنصراً من $D$ مهما يكن $x$ من $D$
- ب)إذا كان $u_{0}$ عنصراً من $D$
- ج)إذا كان $f$ مطّرداً على $D$
4. المتتالية $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n}$ على $n \geq 1$ . ما إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ ، ولماذا؟
- أ)موجبة، لأنّ كلّ حدود المتتالية موجبة
- ب)موجبة تماماً، لأنّ الفرق يساوي $\frac{n^{2} + n - 1}{2 n (n + 1)}$ والمقام موجب
- ج)تتغيّر مع $n$ ، فلا يمكن الحكم من دون تجربة قيم
5. $v_{n} = (n - 1)^{2}$ . الكتاب يستنتج أنّ ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ متزايدة تماماً. لماذا لا يكتب $n \geq 0$ ؟
- أ)لأنّ $v_{0}$ غير معرَّف
- ب)لأنّ $f (x) = (x - 1)^{2}$ لا يتزايد إلّا على $[1, + \infty [$ ، وفعلاً $v_{0} > v_{1}$
- ج)لأنّ الدليل الابتدائيّ يُختار دائماً $1$ في المتتاليات المعرَّفة بتابع
6. متى تصلح أداة النسبة $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ لدراسة الاطراد؟
- أ)دائماً، ما دام $u_{n} \neq 0$
- ب)إذا كانت المتتالية هندسيّة
- ج)إذا كانت حدود المتتالية موجبةً تماماً
7. متتالية حسابيّة $u_{1} = - 2$ وأساسها $r = 3$ . كم يساوي $u_{20}$ ؟
- أ) $58$
- ب) $57$
- ج) $55$
8. كم حدّاً في المجموع $u_{25} + u_{26} + \dots + u_{125}$ ؟
- أ) $100$
- ب) $125$
- ج) $101$
9. لماذا تُكتب صيغة المجموع الهندسيّ بالشرط $q \neq 1$ ؟
- أ)لأنّ المتتالية عند $q = 1$ لا تكون هندسيّة
- ب)لأنّ المقام $1 - q$ ينعدم، والمجموع عندئذٍ يساوي $n \times a$
- ج)لأنّ $q^{n}$ لا تُعرَّف عند $q = 1$
10. في المطابقة $x^{n} - a^{n} = (x - a) (x^{n - 1} + \dots + a^{n - 1})$ ، كم حدّاً في القوس الثاني عند $n = 5$ ؟
- أ)أربعة
- ب)خمسة
- ج)ستّة
11. $a$ و $b$ و $c$ ثلاثة حدودٍ متوالية من متتالية هندسيّة أساسها $q$ . أيّ العلاقات الآتية صحيحة؟
- أ) $b = a q, c = a q^{2}$
- ب) $b = a + q, c = b + q$
- ج) $b = a q, c = b q^{2}$
12. في المتتالية $u_{0} = 3$ و $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 2$ نجد $u_{1} = 7$ و $u_{2} = 47$ و $u_{3} = 2207$ ، وكلّها تنتهي بالرقم $7$ . ماذا يمكن أن نستنتج؟
- أ)أنّ المقولة مُرجَّحة، ولا تُثبت إلّا بأداةٍ تشمل كلّ $n$
- ب)أنّ كلّ الحدود ذات الدليل الأكبر من $1$ تنتهي بالرقم $7$
- ج)أنّ المقولة خاطئة، لأنّ ثلاث حالاتٍ لا تكفي

سلّم التصحيح

1. أ نعم. المقام ينعدم عند $n = 2$ ، فأوّل دليلٍ طبيعيّ صالحٍ بعده هو $3$ ، ولا ينعدم المقام بعده أبداً.
2. ج نعم، والكتاب يقول ذلك صراحةً: للمتتالية عددٌ لا نهائيّ من الحدود بقطع النظر عن قيم هذه الحدود.
3. أ نعم، وهذا مضمون إطار «بوجه عام» في الكتاب. من دونه قد تخرج المتتالية من مجالها بعد خطوةٍ أو خطوتين وتتوقّف.
4. ب نعم. المقام موجبٌ تماماً عند $n \geq 1$ ، فالإشارة إشارة البسط، و $n^{2} + n - 1 = n^{2} + (n - 1)$ موجبٌ تماماً هناك.
5. ب نعم. $f^{'} (x) = 2 (x - 1)$ موجبٌ عند $x > 1$ فقط، و $v_{0} = 1$ أكبر من $v_{1} = 0$ . الأداة تنقل الاطراد على المجال الذي ثبت عليه وحده.
6. ج نعم، والكتاب يذكر الشرط في السطر نفسه. من دونه قد يخرج الجواب معكوساً تماماً.
7. ج نعم. بصيغة القفز $u_{20} = u_{1} + (20 - 1) \times 3 = - 2 + 57 = 55$ . لاحظ $19$ خطوة، لا $20$ .
8. ج نعم، $125 - 25 + 1 = 101$ . الطرفان محسوبان معاً، ولهذا يُزاد واحد.
9. ب نعم. الشرط يحمي القسمة، والحالة المستبعدة هي أسهل الحالات: $n$ حدّاً متساوياً، فالمجموع $n$ مضروباً بالحدّ.
10. ب نعم. الحدود هي كلّ $x^{α} a^{β}$ مع $α + β = 4$ ، وعددها $n$ أي خمسة.
11. أ نعم، وهي صيغة القفز $u_{m} = u_{p} q^{m - p}$ مطبَّقةً بخطوةٍ ثمّ بخطوتين.
12. أ نعم. الاستقراء من حالاتٍ يعطي فرضيّة لا برهاناً. الفرق بين الاثنين هو موضوع الدرس التالي كلّه.