التابع اللّوغاريتمي النيبري

تابعٌ واحدٌ لا غير

لن نبدأ هذا الدرس بصيغةٍ صريحة، لأنّه لا توجد صيغة صريحة. نبدأ بشرطين، ونعلن أنّ تابعاً واحداً لا غير يحقّقهما معاً على المجال $]0,+\mathrm{\infty }[$.

يسمّى هذا التابع تابع اللّوغاريتم النيبري أو الطّبيعي، ونرمز إليه بالرمز $\ln$. وبوجه عام يُكتفى بتسميته التابع اللّوغاريتمي إذا لم يكن هناك أيّ التباس، وهذا ما سنفعله في بقيّة الوحدة.

تذكّر: لماذا شرطان لا شرطٌ واحد؟ لأنّ الشرط الأوّل وحده لا يكفي. لو كان $\ln$ حلاًّ له لكان $\ln +5$ حلاًّ أيضاً، فمشتقّهما واحد. الشرط الثاني هو الذي يختار واحداً من بين هذا العدد اللانهائي من التوابع، تماماً كما تختار نقطةٌ واحدة مستقيماً من بين المستقيمات المتوازية.

قديماً كانت قيم هذا التابع مُجدولةً في جداول تسمّى الجداول اللّوغاريتمية، أمّا اليوم فنجده مُبرمجاً في الآلة الحاسبة والحاسوب، ونحصل على قيمه بلمسة زرّ واحد.

انتبه: القيمة الثانية منقولة عن الكتاب كما هي، وفيها قصٌّ لا تقريب: $\ln 3=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->8<!--\; -->6}\dots$، فتقريبها إلى ثلاث مراتب عشريّة هو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->9}$ لا $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->8}$. القيمة الأولى سليمة لأنّ القصّ والتقريب يتّفقان عندها. أثبتناها هنا كما طبعها الكتاب لتتعرّف عليها في صفحته، واعلم أنّ الصحيح $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->9}$.

نتائج مباشرة: المجال، الاشتقاق، الاطّراد

كلّ ما يأتي في هذا المقطع نتيجةٌ مباشرة للشرطين، ولا يحتاج إلى أيّ معلومة جديدة.

ويتبع الاشتقاقُ الاستمرارَ: التابع $\ln$ مستمرٌّ على ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$، لأنّ كلّ تابعٍ اشتقاقيٍّ على مجالٍ مستمرٌّ عليه.

ومن الاشتقاق تخرج جهة الاطّراد في سطرٍ واحد: إذا كانت $x>0$ فإنّ ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$، ومن ثَمّ ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$. فالتابع $\ln$ متزايدٌ تماماً على ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

تذكّر: اقرأ الجدول في سطرين. سطر المشتق يحمل الإشارة $+$ على المجال كلّه، فالأسهم صاعدة كلّها. وسطر التابع يحمل شيئاً زائداً: الإشارة $-$ قبل الواحد و $+$ بعده. هذه إشارة $\ln x$ نفسه، لا إشارة مشتقّه، ولا تخلط بينهما: التابع صاعدٌ في المجال كلّه وسالبٌ في نصفه الأوّل.

أمّا الشرطة المزدوجة عند الصفر فتقول إنّ التابع غير معرّف هناك، لا أنّه ينعدم. الصفر حدٌّ خارجٌ عن المجال، والجدول يبدأ بعده.

إشارة اللوغاريتم، ورمز التكافؤ

اجمع الآن معلومتين: التابع $\ln$ متزايدٌ تماماً، وقيمته عند الواحد صفر. تكفي هاتان لتحديد إشارته عند كلّ نقطة، من دون حساب أيّ قيمة.

تذكّر: هذا أوّل لقاء لك بالرمز $⟺$ في هذا الكتاب، وهو رمز التكافؤ بين خاصّتين: صحّة أيٍّ منهما تقتضي صحّة الأخرى. فقولنا $\ln x=0⟺x=1$ يعني أمرين معاً: إن كان $x=1$ فاللوغاريتم صفر، وإن كان اللوغاريتم صفراً فليس أمام $x$ إلّا أن يساوي الواحد. الرمز $⟹$ يقول واحداً من الاتّجاهين فقط.

انتبه: لا تقرأ السطر الثاني على أنّه $x$ سالب. المجال $]0,1[$ كلّه موجب. الذي يكون سالباً هو اللوغاريتم لا العدد، وهذا بالضبط ما يخلط فيه كثيرون: التابع موجب المدخل دائماً، وقد يكون سالب المخرج.

اللوغاريتم يحفظ المساواة والترتيب

التزايد التامّ يعطينا أكثر من الإشارة. إنّه يعطينا حقّ المقارنة: لأنّ التابع لا يعود أدراجه أبداً، فترتيب العددين هو نفسه ترتيب لوغاريتميهما، والعكس بالعكس.

انتبه: الشرط المكتوب فوق الإطار ليس زينة: $a$ و $b$ موجبان تماماً. من دونه لا معنى للطرفين أصلاً، ومن نسيه حصل على نتائج تبدو سليمة وهي بلا معنى. سنبني على هذا الشرط الطريقة كلّها في المقطع الأخير.

ولنر كيف تعمل هذه القاعدة في حالة عمليّة. في حالة $x>2$، تكافئ المتراجحة $\ln (x-2)>0$ المتراجحةَ $x-2>1$، أي $x>3$، أو $x\in ]3,+\mathrm{\infty }[$. وبالمثل تكافئ $\ln (x-2)<0$ الشرطَ $0<x-2<1$، أي $2<x<3$، أو $x\in ]2,3[$.

تذكّر: لاحظ ما جرى: الصفر على يمين المتراجحة هو $\ln 1$. فقولك $\ln (x-2)>0$ هو قولك $\ln (x-2)>\ln 1$، ومن هنا يأتي $x-2>1$. كلّما رأيت صفراً في مواجهة لوغاريتم، فاقرأه $\ln 1$.

متى يكون التعبير معرّفاً؟

لماذا علينا الحذر عند التعامل مع لوغاريتم عبارةٍ متحوّلة؟ لأنّ الأعداد الموجبة تماماً وحدها لوغاريتماتها معرّفة. فقبل أن تكتب سطراً واحداً من الحساب، اسأل: على أيّ قيم $x$ يكون ما داخل اللوغاريتم موجباً تماماً؟

الكتابة $\ln (x^2-1)$ ليس لها معنىً إلّا في حالة $x^2-1>0$، أي $x<-1$ أو $x>1$. والكتابة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{x}{1-x}}\right)$ ليس لها معنىً إلّا في حالة ${\displaystyle \frac{x}{1-x}}>0$، أي $x\in ]0,1[$. والكتابة $\ln \mid x^2+2x\mid$ ليس لها معنىً إلّا في حالة $x^2+2x\mathrm{\ne }0$، أي $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$.

انتبه: المثال الثاني هو الفخّ: شرطُ الكسر ليس أن يكون البسط موجباً والمقام موجباً، بل أن يكون الكسر كلّه موجباً. وهذا يحدث أيضاً حين يكون الاثنان سالبين. من قطع الشرطين بدل أن يدرس إشارة الكسر ضيّع نصف الجواب في مسائل أخرى.

تذكّر: وانظر إلى المثال الثالث: القيمة المطلقة تغيّر السؤال كلّه. الشرط لم يعد الإيجاب بل عدم الانعدام، لأنّ $\mid u\mid >0$ يكافئ $u\mathrm{\ne }0$. هذه هي الحيلة التي يستعملها الكتاب ليوسّع مجال التعريف، وستعود في درس المشتق.

طريقة حلّ المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية

لنجمع كلّ ما سبق في طريقةٍ واحدة. ليكن $g$ و $h$ تابعين للمتحوّل $x$. استناداً إلى خواصّ التابع اللّوغاريتمي، تكافئ المعادلة $\ln g(x)=\ln h(x)$ الشروطَ $g(x)>0$ و $h(x)>0$ و $g(x)=h(x)$ معاً. وتكافئ المتراجحة $\ln g(x)\le \ln h(x)$ الشروطَ $g(x)>0$ و $h(x)>0$ و $g(x)\le h(x)$ معاً.

انتبه: الخطوة الرابعة هي التي تُنسى، وهي التي تُصحَّح عليها الدرجات. حلُّ $g(x)=h(x)$ وحده ليس جواباً، بل قائمة مرشّحين. الجواب هو ما بقي منهم بعد عرضهم على $E$، وقد لا يبقى أحد.

ويعرض الكتاب طريقةً أقصر تعطي النتائج نفسها: عيّن $E_g$ وحدها، حيث $g$ هو التابع الأصغر في المتراجحة، ثمّ احتفظ من حلول $g(x)=h(x)$ أو $g(x)\le h(x)$ بما ينتمي إلى $E_g$. ويطلب منك تعليل ذلك من دون أن يذكر التعليل، فإليك إيّاه.

تذكّر: التعليل سطرٌ واحد: إذا كان $g(x)>0$ وكان $g(x)\le h(x)$، فإنّ $h(x)>0$ من تلقاء نفسه، لأنّ ما هو أكبر من عددٍ موجب موجبٌ بالضرورة. فشرط $E_h$ لا يضيف شيئاً، وقد تحقّق مجّاناً. وفي حالة المساواة أوضح: إذا كان $g(x)=h(x)$ فالشرطان شرطٌ واحد.

انتبه: لكنّ الاختصار ينهار إذا أخذت التابع الخطأ. لو عيّنت $E_h$ وحدها في المتراجحة $g(x)\le h(x)$ لما لزم من $h(x)>0$ أن يكون $g(x)>0$، فالأصغر قد يكون سالباً. القاعدة إذن: في المتراجحة خذ مجموعة تعريف التابع الأصغر، أي الذي في الطرف الأصغر.

تذكّر: وزنُ هذا الدرس في البكالوريا أكبر ممّا يوحي حجمه: مجموعة التعريف بندٌ مستقلٌّ في كلّ سلّم تصحيحٍ قرأناه، وحلّ معادلةٍ أو متراجحةٍ لوغاريتمية هدفٌ معلنٌ في دليل المعلّم. من أتقن الخطوات الأربع ضمن درجاتٍ لا يمكن أن تُنتزع منه.