الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التابع اللّوغاريتمي النيبري

التابع اللّوغاريتمي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. بأيّ شرطين يُعرَّف التابع اللّوغاريتمي النيبري $\ln$ ؟
- أ)مشتقّه $\frac{1}{x}$ على $R_{+}^{*}$ ، وينعدم عند $x = 1$
- ب)مشتقّه $\frac{1}{x}$ على $R_{+}^{*}$ ، وينعدم عند $x = 0$
- ج)مشتقّه $x$ على $R$ ، وينعدم عند $x = 1$
2. ما مجموعة تعريف التابع $\ln$ ؟
- أ) $[0, + \infty [$
- ب) $] 0, + \infty [$
- ج) $R$
3. حلّ المتراجحة $\ln x > 0$ .
- أ) $x \in] 0, + \infty [$
- ب) $x \in] 0, 1 [$
- ج) $x \in] 1, + \infty [$
4. إذا كان $a$ و $b$ موجبين تماماً وكان $\ln a < \ln b$ ، فماذا نستنتج؟
- أ) $a > b$
- ب) $a < b$
- ج)لا يمكن الاستنتاج إلّا بمعرفة قيمتَي $a$ و $b$
5. عيّن قيم $x$ التي تجعل المقدار $\ln (x^{2})$ معرّفاً.
- أ) $R ∖ {0}$
- ب) $] 0, + \infty [$
- ج) $R$
6. عيّن قيم $x$ التي تجعل المقدار $\frac{1}{\ln x}$ معرّفاً.
- أ) $] 0, + \infty [$
- ب) $R ∖ {1}$
- ج) $] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [$
7. عيّن قيم $x$ التي تجعل المقدار $\ln ⁣ (\frac{x - 3}{2 - x})$ معرّفاً.
- أ) $] 3, + \infty [$
- ب) $R ∖ {2, 3}$
- ج) $] 2, 3 [$
8. عيّن قيم $x$ التي تجعل المقدار $\ln (1 - x)$ معرّفاً.
- أ) $] - \infty, 1 [$
- ب) $] 1, + \infty [$
- ج) $] 0, + \infty [$
9. حلّ المعادلة $\ln (x - 2) = \ln ⁣ (x^{2} - 2)$ .
- أ) $S = {0, 1}$
- ب) $S = \emptyset$
- ج) $S = {1}$
10. حلّ المعادلة $\ln (2 x) = \ln ⁣ (x^{2} - 1)$ .
- أ) $S = {1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}}$
- ب) $S =] 1, + \infty [$
- ج) $S = {1 + \sqrt{2}}$
11. حلّ المتراجحة $\ln (x - 2) \leq \ln (2 x - 1)$ .
- أ) $S = [- 1, + \infty [$
- ب) $S =] 2, + \infty [$
- ج) $S =] \frac{1}{2}, + \infty [$
12. في المتراجحة $\ln g (x) \leq \ln h (x)$ ، أيّ مجموعة تعريف تكفي وحدها لاختصار الحلّ؟
- أ)مجموعة تعريف $g$ ، أي التابع الأصغر
- ب)مجموعة تعريف $h$ ، أي التابع الأكبر
- ج)لا تكفي واحدة منهما، بل يجب تقاطعهما دائماً

سلّم التصحيح

1. أ نعم، وهذان الشرطان معاً يحدّدان تابعاً واحداً لا غير.
2. ب نعم، الأعداد الموجبة تماماً وحدها.
3. ج نعم. الصفر هو $\ln 1$ ، والتابع متزايدٌ تماماً، فالمتراجحة تكافئ $x > 1$ .
4. ب نعم. التابع متزايدٌ تماماً، فترتيب اللوغاريتمين هو ترتيب العددين، في الاتّجاهين.
5. أ نعم. الشرط هو $x^{2} > 0$ ، ويتحقّق عند كلّ عددٍ حقيقيٍّ عدا الصفر.
6. ج نعم، شرطان لا شرط واحد: $x > 0$ ليوجد اللوغاريتم، و $\ln x \neq 0$ أي $x \neq 1$ ليوجد الكسر.
7. ج نعم. الكسر موجبٌ تماماً حين يكون البسط والمقام سالبين معاً، أي $x < 3$ و $x > 2$ .
8. أ نعم. الشرط $1 - x > 0$ يكافئ $x < 1$ .
9. ب نعم. مجموعة التعريف هي $] 2, + \infty [$ ، والمعادلة الجبريّة $x^{2} - x = 0$ تعطي $0$ و $1$ ، وكلاهما خارجها. لا حلّ.
10. ج نعم. مجموعة التعريف هي $] 1, + \infty [$ ، والمعادلة $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ تعطي $1 \pm \sqrt{2}$ ، والحلّ الثاني سالب فيُرفض.
11. ب نعم. التابع الأصغر هو $x - 2$ فمجموعته $] 2, + \infty [$ ، والمتراجحة الجبريّة $x - 2 \leq 2 x - 1$ تكافئ $x \geq - 1$ ، وهي محقّقة على المجال كلّه.
12. أ نعم. إذا كان $g (x) > 0$ وكان $g (x) \leq h (x)$ فإنّ $h (x) > 0$ بالضرورة، فشرط $h$ يتحقّق مجّاناً.