الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع اللّوغاريتمي

التابع اللّوغاريتمي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x}$ ؟
- أ) $1$
- ب) $+ \infty$
- ج) $0$
2. ما قيمة $\lim_{x \to 0, x > 0} (x \ln x)$ ؟
- أ) $- \infty$
- ب) $0$
- ج)حالة عدم تعيين لا تُحسم
3. ما قيمة $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}$ ؟
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
4. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\ln x}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
5. ما قيمة $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
6. ما قيمة $\lim_{x \to 0, x > 0} (\frac{1}{x} + \ln x)$ ؟
- أ) $+ \infty$
- ب) $- \infty$
- ج) $0$
7. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} (\ln (2 x + 1) - \ln (x + 2))$ ؟
- أ) $\ln 2$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
8. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} x \ln ⁣ (1 + \frac{1}{x})$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
9. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{2}}$ ؟
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
10. ما قيمة $\lim_{x \to 0, x > 0} ((x^{2} - x) \ln x)$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $- \infty$
11. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
12. عند حساب $\lim_{x \to + \infty} (\ln (2 x + 1) - \ln (x + 2))$ ، ما الخطوة الأولى الصحيحة؟
- أ)حساب نهاية كلّ حدٍّ على حدة ثمّ الطرح
- ب)إهمال الثابتين $1$ و $2$ لأنّهما صغيران أمام $x$
- ج)ضمّ الفرق في لوغاريتمٍ واحد

سلّم التصحيح

1. ج نعم. اللوغاريتم يصغر أمام $x$ ، ويُثبت ذلك بالحصر $0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}$ .
2. ب نعم. الصفر يغلب هنا: يُبرهن ذلك بتغيير المتحوّل $u = \frac{1}{x}$ ، فيصير المقدار $- \frac{\ln u}{u}$ .
3. أ نعم، وهي نسبة التغيّر للتابع $\ln$ عند الفاصلة $1$ ، فقيمتها $\ln^{'} (1) = 1$ .
4. ب نعم، وهو مقلوب النهاية $\frac{\ln x}{x} \to 0$ . ومقلوب مقدارٍ يتلاشى بقيمٍ موجبة يكبر بلا حدّ.
5. ج نعم، وهو مقلوب $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$ ، وهذه الأخيرة نسبة التغيّر عند $1$ .
6. أ نعم. نكتب المجموع كسراً واحداً $\frac{1 + x \ln x}{x}$ ، فالبسط يسعى إلى $1$ والمقام يتلاشى بقيمٍ موجبة.
7. أ نعم. نضمّ الفرق في لوغاريتمٍ واحد $\ln \frac{2 x + 1}{x + 2}$ ، والكسر يسعى إلى $2$ ، واللوغاريتم مستمرّ هناك.
8. ج نعم. بوضع $u = \frac{1}{x}$ يصير المقدار $\frac{\ln (1 + u)}{u}$ مع $u \to 0$ ، وهذه هي النهاية الأولى من هذا الدرس.
9. ب نعم. اكتب الكسر جداءً: $\frac{\ln x}{x} \times \frac{1}{x}$ ، وكلا العاملين يتلاشى. والمقام هنا أسرع من الحالة الأساسيّة.
10. أ نعم. انشر الجداء: $x (x \ln x) - x \ln x$ ، وكلا الحدّين يسعى إلى الصفر بحكم المبرهنة.
11. ب نعم. حتّى الجذر التربيعيّ، وهو بطيء، أسرع من اللوغاريتم. وتراه بوضع $t = \sqrt{x}$ فيصير المقدار $\frac{t}{2 \ln t}$ .
12. ج نعم. فرق اللوغاريتمين هو لوغاريتم الكسر، وبذلك تتحوّل حالة عدم التعيين إلى نهاية كسرٍ بسيطة.