الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: لوغاريتم جداء ضرب

التابع اللّوغاريتمي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. أيّاً يكن $a > 0$ و $b > 0$ ، ما قيمة $\ln (a b)$ ؟
- أ) $\ln a \times \ln b$
- ب) $\ln (a + b)$
- ج) $\ln a + \ln b$
2. أيّاً يكن $a > 0$ و $b > 0$ ، ما قيمة $\ln ⁣ (\frac{a}{b})$ ؟
- أ) $\ln a - \ln b$
- ب) $\frac{\ln a}{\ln b}$
- ج) $\ln b - \ln a$
3. أيّاً يكن $a > 0$ و $n \in N^{*}$ ، ما قيمة $\ln ⁣ (a^{n})$ ؟
- أ) ${(\ln a)}^{n}$
- ب) $n \ln a$
- ج) $\ln a + n$
4. أيّاً يكن $a > 0$ ، ما قيمة $\ln \sqrt{a}$ ؟
- أ) $\frac{1}{2} \ln a$
- ب) $\sqrt{\ln a}$
- ج) $2 \ln a$
5. هل تصحّ المساواة $\ln ⁣ (x^{2}) = 2 \ln x$ عند كلّ $x$ من $R^{*}$ ؟
- أ)نعم، لأنّ $x^{2}$ موجبٌ دائماً
- ب)لا، والصيغة الصحيحة هي $\ln ⁣ (x^{2}) = {(\ln x)}^{2}$
- ج)لا، والصيغة الصحيحة هي $2 \ln ∣ x ∣$
6. احسب $\ln ⁣ (x^{2})$ عند $x = - 4$ .
- أ) $2 \ln (- 4)$
- ب) $2 \ln 4$
- ج)غير معرّف
7. بسّط كتابة العدد $a = \ln 3 + \ln \frac{1}{3}$ .
- أ) $a = 2 \ln 3$
- ب) $a = 0$
- ج) $a = \ln 3 - 3$
8. اكتب $\ln 50$ بدلالة $\ln 2$ و $\ln 5$ .
- أ) $\ln 2 \times \ln 25$
- ب) $2 \ln 5 + 2 \ln 2$
- ج) $\ln 2 + 2 \ln 5$
9. قارن بين $x = 2 \ln 3$ و $y = 3 \ln 2$ دون استعمال آلةٍ حاسبة.
- أ) $x > y$
- ب) $x < y$
- ج) $x = y$
10. التابعان $f : x \mapsto \ln ⁣ (x^{2} - 1)$ و $g : x \mapsto \ln (x + 1) + \ln (x - 1)$ . هل هما متساويان؟
- أ)نعم، لأنّ $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$
- ب)لا، لأنّ $D_{f} = R ∖ [- 1, 1]$ و $D_{g} =] 1, + \infty [$
- ج)لا، لأنّ $f (x) \neq g (x)$ عند $x = 2$
11. حلّ المعادلة $\ln (x + 11) = \ln (x + 3) + \ln (x + 2)$ .
- أ) $S = {1}$
- ب) $S = {- 5, 1}$
- ج) $S = \emptyset$
12. جد قيم العدد الطبيعيّ $n$ التي تحقّق ${(\frac{1}{3})}^{n} \leq 10^{- 2}$ .
- أ) $n \leq 4$
- ب) $n \geq 4$
- ج) $n \geq 5$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهذه هي الخاصّة الأساسيّة للتابع اللّوغاريتمي: الجداء في الداخل يصير مجموعاً في الخارج.
2. أ نعم. تخرج من الخاصّة الأساسيّة لأنّ $a = \frac{a}{b} \cdot b$ ، فالقسمة تنزل درجةً وتصير طرحاً.
3. ب نعم. الأُسّ ينزل معاملاً أمام اللوغاريتم، وهذا يتبع من لوغاريتم جداء $n$ عاملاً متساوية.
4. أ نعم. الجذر التربيعي قوّةٌ نصفيّة، فينزل معاملاً $\frac{1}{2}$ . ويثبته الكتاب من $\ln b^{2} = 2 \ln b$ بوضع $b = \sqrt{a}$ .
5. ج نعم، هذا هو الجواب. الطرف الأيسر معرّف عند كلّ $x \neq 0$ ، والأيمن يشترط $x > 0$ . والصيغة الجامعة $2 \ln ∣ x ∣$ تصلح للحالتين.
6. ب نعم، لأنّ $∣ - 4 ∣ = 4$ . والتحقّق مباشر: $(- 4)^{2} = 16$ و $\ln 16 = 2 \ln 4$ .
7. ب نعم، بطريقتين: إمّا $\ln \frac{1}{3} = - \ln 3$ ، وإمّا مباشرةً $\ln ⁣ (3 \times \frac{1}{3}) = \ln 1 = 0$ .
8. ج نعم، لأنّ $50 = 2 \times 5^{2}$ ، فيصير الجداء مجموعاً والأُسّ معاملاً.
9. أ نعم. $2 \ln 3 = \ln 9$ و $3 \ln 2 = \ln 8$ ، وبما أنّ $9 > 8$ والتابع متزايدٌ تماماً فإنّ $x > y$ .
10. ب نعم، هذا هو الجواب. الصيغتان تتّفقان على $D_{f} \cap D_{g} =] 1, + \infty [$ ، لكنّ $f$ معرّف أيضاً على $] - \infty, - 1 [$ حيث العاملان سالبان معاً.
11. أ نعم. مجموعة التعريف $] - 2, + \infty [$ ، والمعادلة تصير $x + 11 = x^{2} + 5 x + 6$ أي $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ بجذرين $- 5$ و $1$ ، والأوّل خارج المجال.
12. ج نعم. بأخذ اللوغاريتم: $- n \ln 3 \leq - 2 \ln 10$ ، وبالقسمة على $- \ln 3$ ينقلب الاتّجاه فيصير $n \geq \frac{2 \ln 10}{\ln 3} \approx 4.19$ ، وأصغر عددٍ طبيعيّ فوقها هو $5$ .