مشتقّات التوابع المألوفة

عمليّات على المشتقّات

ليكن $u$ و $v$ تابعين اشتقاقيَّين على $D$، حيث $D$ مجالٌ أو اجتماعُ مجالاتٍ، وليكن $k$ عدداً حقيقيّاً. عندئذٍ يكون كلٌّ من $ku$ و $u+v$ و $uv$ اشتقاقيّاً على $D$.

تذكّر: وعلى الخصوص: التوابع كثيرات الحدود اشتقاقيّة على $\mathbb{R}$، والتوابع الكسريّة اشتقاقيّة على مجموعة تعريفها. هاتان الجملتان تختصران أكثر أسئلة البكالوريا في هذا الباب، ولا تحتاج معهما إلى حساب.

ولكثير الحدود $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ نشتقّ كلَّ حدٍّ على حدته ثمّ نجمع الحدود الناتجة.

شرطٌ كافٍ، وما لا تقوله المبرهنة

يسأل الكتاب سؤالاً يستحقّ الوقوف: لماذا تكون المبرهنة 1 غير مُجدية أحياناً عندما ندرس قابليّة الاشتقاق في نقطة؟

لأنّها لا تعطي سوى شروطٍ كافية. هي تنصّ على أنّه إذا كان $u$ و $v$ اشتقاقيَّين على $D$، كان $uv$ اشتقاقيّاً على $D$. لكنّها لا تقول العكس: إذا لم يكن $u$ أو $v$ اشتقاقيّاً على $D$، فلن يكون $uv$ اشتقاقيّاً على $D$.

تذكّر: وعليه، قد يكون الجداء $uv$ اشتقاقيّاً عند نقطةٍ دون أن يكون $u$ أو $v$ اشتقاقيّاً في تلك النقطة. المبرهنة تفتح باباً ولا تغلق غيره.

انتبه: هذا الفرق بين «شرطٍ كافٍ» و«شرطٍ لازم» هو أكثر ما يُخطئ فيه الطلّاب في البراهين، لا في هذه الوحدة وحدها. كلّما قرأت مبرهنة على صورة «إذا كان $A$ فإنّ $B$»، فهي لا تقول شيئاً عن الحالة التي لا يتحقّق فيها $A$.

عند الطرف، عُد إلى التعريف

الحالة الثانية التي تسكت فيها المبرهنة هي طرف المجال. تعطيك المبرهنة الاشتقاق على مجالٍ مفتوح، فتظنّ أنّ الطرف خارجٌ حتماً. ليس حتماً: هي لا تنفي شيئاً عنه.

جدول المشتقّات المرجعيّة

بعد ما سبق يصير الجدول أداةَ نظرٍ سريع لا مادّةَ حفظ. انتبه إلى العمود الأخير في الكتاب: هو ليس زينة، بل يحمل المجموعة التي تصلح عليها كلّ سطر.

انتبه: السطر الرابع هو الفخّ. مجال اشتقاق $\sqrt{x}$ هو $]0,+\mathrm{\infty }[$ بينما مجال تعريفه $[0,+\mathrm{\infty }[$، والفرق نقطةٌ واحدة. عندها تنقلب الحال بحسب التابع الذي يضربه الجذر: الجذر وحده غير اشتقاقيٍّ عند الصفر، و $x\sqrt{x}$ اشتقاقيٌّ عنده كما رأينا.

المجموعة جزءٌ من الجواب

تُصاغ مسألة الكتاب على الصفحة $\mathrm{7<!--\; -->1}$ بثلاثة مطالب مرتّبة: عيّن مجموعة تعريف التابع، ثمّ المجموعة التي يقبل عليها الاشتقاق، ثمّ احسب تابعه المشتقّ. الترتيب مقصود، ومن قفز إلى الحساب فقد بندين قبل أن يبدأ.

خذ $h(x)={\displaystyle \frac{x^2+x+2}{x^2+x}}$. المقام ينعدم عند $0$ وعند $-1$، فالتابع كسريٌّ معرّف على $\mathbb{R}\setminus \{-1,0\}$، ومن ثَمّ اشتقاقيٌّ على المجموعة نفسها، لأنّ التوابع الكسريّة اشتقاقيّة على مجموعة تعريفها. وبالصيغة ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ نحصل على المشتق.

وخذ $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}$. هنا لا ينعدم المقام أبداً: مميّز $x^2+x+1$ سالب، فالتابع معرّف واشتقاقيٌّ على $\mathbb{R}$ كلّها. ومن الصيغة ${\displaystyle \frac{1}{v}}$ يكون $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2x+1}{{(x^2+x+1)}^2}}$.

تذكّر: لاحظ الفرق بين المثالين: كلاهما كسريّ، وكلاهما يُحلّ بالقاعدة نفسها، والذي اختلف هو المجموعة. دراسة المقام تسبق الاشتقاق دائماً.

تذكّر: في سلالم التصحيح التي قرأناها، تُمنح درجةٌ مستقلّة لتعيين المجموعة قبل أيّ حساب. اكتبها في سطرٍ وحدها، ولو بدت بديهيّة، فهي أرخص درجةٍ في المسألة.