العدد المشتق والتابع المشتق

من ميل قاطعٍ إلى ميل عند نقطة

في كلّ هذه الوحدة نرمز بالرمز $D_f$ إلى مجموعة تعريف تابع $f$، وبالرمز $C_f$ إلى الخطّ البياني للتابع $f$ في معلمٍ متجانس. هذا اصطلاح الكتاب نفسه، ونحن نلتزم به.

لتكن $a$ نقطة من مجالٍ $I$، ولتكن $x$ نقطة أخرى منه. المستقيم الواصل بين $(a,f(a))$ و $(x,f(x))$ يسمّى قاطعاً، وميله هو الفرق بين الارتفاعين مقسوماً على الفرق بين الفاصلتين.

هذا الكسر يقيس متوسّط التغيّر بين النقطتين، لا التغيّر عند $a$ وحدها. فإذا أردنا الميل عند $a$ بالذات، قرّبنا $x$ من $a$ وسألنا سؤال النهايات: هل يستقرّ هذا الكسر على عدد؟ إن استقرّ، فذاك العدد هو المطلوب.

تذكّر: لاحظ أنّ الكسر غير معرّف عند $x=a$، إذ يصير المقام صفراً. ولهذا بالضبط نحتاج إلى النهاية: هي الأداة الوحيدة التي تتكلّم عن سلوكٍ قرب نقطة من دون أن تحتاج إلى قيمة عندها.

العدد المشتق، بصيغتين متكافئتين

ليكن $f$ تابعاً معرّفاً على مجالٍ $I$ محتوى في $D_f$، ولتكن $a$ نقطة من $I$. نقول إنّ العدد $\mathrm{\ell }$ هو العدد المشتق للتابع $f$ عند $a$ إذا وفقط إذا تحقّق واحدٌ من الشرطين الآتيين، وهما شرطٌ واحد في لباسين.

الصيغتان واحدة، والانتقال بينهما تعويضٌ لا أكثر: ضع $x=a+h$، فيصير $x-a$ هو $h$، ويصير سعي $x$ إلى $a$ هو سعي $h$ إلى الصفر. استعمل أيّهما أسهل في المسألة التي بين يديك.

وللكلام مصطلحان يجب التمييز بينهما. عندما يقبل $f$ عدداً مشتقّاً في $a$، نقول إنّ $f$ اشتقاقيٌّ في $a$. وعندما يكون $f$ اشتقاقياً عند كلّ نقطة من مجالٍ $I$، نقول إنّ $f$ اشتقاقيٌّ على $I$.

انتبه: الفرق بين عبارة «اشتقاقيٌّ في $a$» وعبارة «اشتقاقيٌّ على $I$» ليس تفصيلاً لغوياً. الأولى تتكلّم عن نقطة واحدة، والثانية عن كلّ نقاط المجال. تابعٌ قد يكون اشتقاقياً في كلّ نقطة من $I$ عدا واحدة، فلا يصحّ عندئذٍ أن نقول إنّه اشتقاقيٌّ على $I$، ويبقى اشتقاقياً على كلّ مجال جزئي لا يحوي تلك النقطة.

التابع المشتق ومجموعة تعريفه

إذا كان $f$ اشتقاقياً على مجالٍ $I$، فعند كلّ نقطة من $I$ عددٌ مشتق. وهذا يعني أنّنا أمام تابعٍ جديد: يأخذ نقطةً ويعطي العدد المشتق عندها.

ومجموعة تعريف $f^{\mathrm{\prime }}$ ليست بالضرورة مجالاً واحداً؛ يمكن أن تكون اجتماع مجالات. خذ التابع المعرّف وفق $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ على $D=]-\mathrm{\infty },0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$، فتابعه المشتق معرّف على $D$ نفسها وفق $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

انتبه: لا تخلط بين $D_f$ و مجموعة تعريف $f^{\mathrm{\prime }}$. الثانية محتواة في الأولى وقد تكون أصغر منها: قد يكون التابع معرّفاً عند نقطة وغير اشتقاقيٍّ عندها. اكتب دائماً المجموعة التي تشتقّ عليها، فهي جزءٌ من الجواب لا زينةً فيه.

المماس، وما يعنيه ميله

ليكن $C$ الخطّ البياني لتابع $f$ اشتقاقيٍّ عند النقطة $a$، وليكن $T$ المماس للمنحني $C$ في النقطة $A(a,f(a))$. إنّ $T$ هو المستقيم المارّ بالنقطة $A$ وميلُه يساوي $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

اقرأ المعادلة كما تُبنى: انطلق من الارتفاع $f(a)$ عند الفاصلة $a$، ثمّ تحرّك بميلٍ مقداره $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. النقطة والميل، لا أكثر، وهما بالضبط ما يحدّد مستقيماً واحداً.

تذكّر: إشارة $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ تُقرأ من الشكل مباشرة: ميلٌ موجب يعني مماساً صاعداً، وميلٌ سالب مماساً هابطاً، و $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ يعني مماساً أفقياً معادلته $y=f(a)$. هذه القراءة هي الجسر إلى درس تطبيقات الاشتقاق.

التقريب التآلفي المحلي

يظهر من الرسم أنّ المستقيم $T$ قريب من المنحني $C$ في جوار النقطة $A$. وفيما يأتي تكون $h$ قريبةً من الصفر. ويمكننا إذن أن نستبدل بالمنحني المستقيمَ بقرب $A$، أي أن نستبدل بالتابع $x\mapsto f(x)$ التابعَ التآلفي $x\mapsto f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$.

وفائدته حسابيّة بحتة: المقدار $f(a)+h\times f^{\mathrm{\prime }}(a)$ كثير حدود من الدرجة الأولى بالمتحوّل $h$، فحسابه يتطلّب عمليّة ضربٍ وعمليّة جمع فقط، مهما كان $f$ معقّداً.

خذ $f:x\mapsto \sin x$، وهو اشتقاقي على $\mathbb{R}$، مع $f(0)=\sin 0=0$ و $f^{\mathrm{\prime }}(0)=\cos 0=1$. يعطي التقريب $\sin (h)\approx h$، فيكون $\sin (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1})\approx \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$. والآلة الحاسبة تعطي $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->9<!--\; -->9<!--\; -->8<!--\; -->3<!--\; -->3}$، فالفرق في الخانة الرابعة بعد الفاصلة.

ولهذا التقريب صياغة دقيقة تجعله مساواة لا تقريباً. عندما يكون $f$ اشتقاقياً عند $a$ يمكن أن نكتب ما يأتي، حيث $\epsilon$ تابعٌ للمتحوّل $h$.

انتبه: كلمة «محلي» في اسم التقريب ليست زينة. التقريب صالح في جوار $a$ وحدها، ويسوء كلّما ابتعدت. لو استعملت $\sin (h)\approx h$ عند $h=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}$ لأعطاك $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->5}$، والقيمة الحقيقيّة أصغر من الواحد، فالخطأ يزيد على النصف.

مثال محلول: صفة للقطع المكافئ

تذكّر: معادلة المماس بندٌ ثابت في البكالوريا، ووزنها في الدورات التي قرأناها $\mathrm{1<!--\; -->5}$ درجة موزّعة على ثلاث خطوات متساوية: حساب $f(a)$، وحساب $f^{\mathrm{\prime }}(a)$، وكتابة المعادلة. من أتقن هذه الثلاث ضمن الدرجات كاملة قبل أن تبدأ المسألة الحقيقيّة.