الشكل الأسّي لعدد عقدي

الأعداد التي طويلتها واحد

في الدرس السابق كتبنا كل عدد عقدي غير معدوم بالشكل $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. لنبدأ هنا من أبسط حالة ممكنة: أن تكون الطويلة $1$ بالضبط.

إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ فالمعامل أمام القوس يختفي، ولا يبقى من العدد إلّا زاويته، أي $z=\cos \theta +i\sin \theta$. وبالعكس، كل عدد مكتوب بهذه الصيغة طويلته $\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$. نجمع هذه الأعداد في مجموعة يُرمز إليها عادةً بالرمز $\mathbb{U}$.

تذكّر: على $\mathbb{U}$ لم يبقَ للعدد إلّا وصف واحد: زاويته. الطويلة معروفة سلفاً وتساوي $1$.

خاصّة تحوّل الجمع إلى ضرب

بما أنّ الزاوية وحدها تعيّن العدد على $\mathbb{U}$، صار من الطبيعي أن ننظر إلى التابع الذي يأخذ زاوية ويعطي العدد الموافق لها. نسمّيه $E$، وهو تابع من $\mathbb{R}$ نحو $\mathbb{U}$.

لهذا التابع خاصّة واحدة، وهي كل شيء في هذا الدرس:

والبرهان ليس أكثر من نشر الجداء ثمّ استعمال صيغتي جمع الزوايا اللتين تعرفهما من المثلّثات:

تذكّر: الجمع في الزوايا صار ضرباً في الأعداد. هذا بالضبط سلوك التابع الأسّي الذي نعرفه في $\mathbb{R}$، حيث $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$.

من أين جاء الرمز الأسّي

تابع يحوّل الجمع إلى ضرب: هذا هو سلوك التابع الأسّي بعينه، ومن هنا جاءت فكرة الرمز الجديد. لهذا السبب وحده اتّفق الرياضيّون على كتابة $E(\theta )$ بالرمز $e^{i\theta }$. انتبه إلى طبيعة الخطوة: هذه ليست نتيجة نبرهنها، بل اصطلاح على رمز، اختير لأنّه يحفظ القاعدة التي نعرفها.

انتبه: الرمز $e^{i\theta }$ ليس عدداً حقيقياً موجباً، ولا يكبر كلّما كبرت $\theta$. طويلته $1$ دائماً، فهو يدور على الدائرة ولا يتمدّد. وأوضح دليل على ذلك أنّ $e^{i\pi }=-1$، وهي قيمة سالبة.

سؤال الكتاب في هذا الموضع يستحق التوقّف: بما أنّ $0=i\times 0$، صار للعدد $e^0$ تعريفان. الأوّل من $\mathbb{R}$ ويعطي $e^0=1$، والثاني من التعريف الجديد ويعطي $\cos 0+i\sin 0=1$. التعريفان متّفقان، والرمز الجديد لا يناقض القديم.

الحالة العامّة: كل عدد غير معدوم

الآن نرفع القيد. ليكن $z$ عدداً عقدياً غير معدوم، طويلته $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ وزاويته $\theta$. كتبناه في الدرس السابق $z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }(\cos \theta +i\sin \theta )$، والقوس الآن له رمز مختصر:

انتبه: الصفر لا شكل أسّي له. طويلته $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$ معرّفة تماماً ومسموحة، أمّا $\arg 0$ فلا معنى له، لأنّ المبدأ لا يحدّد اتّجاهاً. لذلك يُشترط في التعريف أن يكون $z$ غير معدوم، وهذا الشرط جزء من التعريف لا تفصيل جانبي.

المثال نفسه يعطي عددين آخرين: $z_2=\frac{3}{2}{e}^{i\frac{\pi }{2}}$ و $z_3=\sqrt{3}{e}^{-i\frac{2\pi }{3}}$. وبالطريقة ذاتها نجد $z_2=\frac{3}{2}i$ و $z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$.

لماذا يسهّل الأسّي الحساب

الآن يظهر الربح. اضرب عددين بالشكل الأسّي، فلن تفعل شيئاً غير ضرب المعاملين وجمع الأسّين، تماماً كقواعد القوى التي تعرفها منذ سنوات.

والبرهان جاهز مما سبق: المعاملان يُضربان لأنّ طويلة الجداء جداء الطويلتين، والزاويتان تُجمعان لأنّ $E(\theta )E({\theta }^{\mathrm{\prime }})=E(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$.

انتبه: لا تُهمل القوس $(2\pi )$ في شرط التساوي. العددان $e^{i\cdot 0}$ و $e^{i2\pi }$ متساويان تماماً مع أنّ $0\mathrm{\ne }2\pi$. الزاوية صنف كامل من القيم، لا قيمة واحدة، ومن قرأ السطر كمعادلة عادية أضاع نصف الحلول.

دستور دوموافر وعلاقتا أويلر

من قاعدة الضرب وحدها تخرج نتيجتان مشهورتان. الأولى تأتي من تكرار الضرب $n$ مرّة إذا كان $n$ موجباً، ومن قاعدة القسمة $\frac{1}{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$ إذا كان $n$ سالباً. والثانية تأتي من جمع $e^{i\theta }$ مع $e^{-i\theta }$ ثمّ طرحهما.

يكفي أن نقسم السطر الأوّل على $2$ والثاني على $2i$ لنصل إلى ما يسمّيه الكتاب علاقتَي أويلر.

انتبه: في علاقة الجيب المقام $2i$ وليس $2$. من ينساه يحصل على عدد تخيّلي بحت في مكان عدد حقيقي، ويكتشف الخطأ متأخّراً بعد سطور من الحساب.

تذكّر: دستور دوموافر هو الذي يجعل رفع عدد عقدي إلى قوّة عالية سطرين اثنين، بدل نشر طويل يمتلئ بحدود $i^2$ و $i^3$.

انتبه: متى لا تكون الكتابة أسّية

نختم بمثال الكتاب الثاني. هو أصعب قليلاً، لا لأنّ الحساب فيه أطول، بل لأنّ الجواب معلّق بشرط لا بدّ من التحقّق منه قبل إعلانه.

انتبه: الشرط معلّق بإشارة $\cos \theta$، لا بعضوية $\theta$ في هذا المجال. فالتابع $\cos$ دوريّ، وقد تخرج $\theta$ عن المجال ويبقى $\cos \theta$ موجباً، كما عند $\theta =2\pi$ حيث $\cos \theta =1$. فإذا كان $\cos \theta$ سالباً، كما في المجال $]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}[$، فالكتابة $(2\cos \theta )e^{i\theta }$ ليست شكلاً أسّياً، وتنتقل الإشارة إلى الزاوية فنكتب $z=(-2\cos \theta )e^{i(\theta +\pi )}$، تماماً كما في الشكل المثلّثي. وإذا كان $\cos \theta =0$، أي $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$، فإنّ $z=0$، فلا شكل أسّي له أصلاً ولا زاوية. المجال المذكور في نص المسألة ليس زينة، بل هو الذي يضمن $\cos \theta >0$ فيجعل الجواب صحيحاً.

تذكّر: الشكل الأسّي ليس رمزاً أقصر فحسب. هو الذي يحوّل الضرب والقسمة والقوى إلى جمع وطرح وضرب في الزوايا، وعليه ستبنى المسائل التي تأتي بعد هذه الوحدة.