الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: الشكل الأسّي لعدد عقدي

الأعداد العقديّة . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما قيمة هذا العدد؟
$e^{i π}$
- أ) $1$
- ب) $i$
- ج) $- 1$
2. ما قيمة هذا العدد؟
$e^{i \frac{π}{2}}$
- أ) $i$
- ب) $- 1$
- ج) $\frac{π}{2}$
3. ما طويلة هذا العدد، أياً كانت $θ$ الحقيقية؟
$z = 5 e^{i θ}$
- أ) $5$
- ب) $5 θ$
- ج) $1$
4. اكتب هذا العدد بالشكل الجبري:
$z = 4 e^{i \frac{π}{3}}$
- أ) $2 + 2 i \sqrt{3}$
- ب) $4 + 4 i$
- ج) $2 \sqrt{3} + 2 i$
5. اكتب هذا العدد بالشكل الجبري:
$z_{2} = \frac{3}{2} e^{i \frac{π}{2}}$
- أ) $\frac{3}{2}$
- ب) $\frac{3}{2} i$
- ج) $- \frac{3}{2} i$
6. اكتب هذا العدد بالشكل الأسّي:
$z = \sqrt{3} + i$
- أ) $2 e^{i \frac{π}{3}}$
- ب) $4 e^{i \frac{π}{6}}$
- ج) $2 e^{i \frac{π}{6}}$
7. احسب هذا الجداء بالشكل الأسّي:
$3 e^{i \frac{π}{4}} \times 2 e^{i \frac{π}{6}}$
- أ) $6 e^{i \frac{π}{24}}$
- ب) $5 e^{i \frac{5 π}{12}}$
- ج) $6 e^{i \frac{5 π}{12}}$
8. إذا كان $z_{1} = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ و $z_{2} = \frac{3}{2} e^{i \frac{π}{2}}$ ، فما $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ بالشكل الأسّي؟
- أ) $\frac{4}{3} e^{- i \frac{π}{4}}$
- ب) $\frac{4}{3} e^{i \frac{3 π}{4}}$
- ج) $3 e^{- i \frac{π}{4}}$
9. ما مرافق هذا العدد، حيث $r$ موجب تماماً؟
$z = r e^{i θ}$
- أ) $- r e^{i θ}$
- ب) $r e^{- i θ}$
- ج) $\frac{1}{r} e^{i θ}$
10. لماذا لا يوجد شكل أسّي للعدد $0$ ؟
- أ)لأنّ طويلته غير معرّفة
- ب)لأنّ زاويته غير معرّفة
- ج)لأنّ الصفر ليس عدداً عقدياً
11. ما قيمة هذه القوّة بالشكل الأسّي؟
${(e^{i \frac{π}{6}})}^{3}$
- أ) $e^{i \frac{π}{18}}$
- ب) $e^{i \frac{π}{2}}$
- ج) $3 e^{i \frac{π}{6}}$
12. أيّ من هذه العلاقات هي علاقة أويلر الصحيحة؟
- أ) $\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2}$
- ب) $\cos θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2}$
- ج) $\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$
13. متى يكون العددان متساويين، حيث $r$ و $r^{'}$ موجبان تماماً؟
$r e^{i θ} = r^{'} e^{i θ^{'}}$
- أ) $r = r^{'}, θ = θ^{'} (2 π)$
- ب) $r = r^{'}, θ = θ^{'}$
- ج) $θ = θ^{'} (2 π)$
14. اكتب هذا العدد بالشكل الأسّي:
$z = - 2 e^{i \frac{π}{5}}$
- أ) $2 e^{i (\frac{π}{5} + π)}$
- ب) $- 2 e^{i \frac{π}{5}}$
- ج) $2 e^{- i \frac{π}{5}}$
15. أين تقع صور الأعداد $e^{i θ}$ عندما تمسح $θ$ المجموعة $R$ ؟
- أ)على محور الفواصل
- ب)في المستوي كلّه
- ج)على الدائرة التي مركزها المبدأ ونصف قطرها واحد
16. اكتب هذا العدد بالشكل الأسّي:
$z = - 1 - i$
- أ) $\sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$
- ب) $\sqrt{2} e^{- i \frac{3 π}{4}}$
- ج) $2 e^{- i \frac{3 π}{4}}$

سلّم التصحيح

1. ج صحيح. $\cos π = - 1$ و $\sin π = 0$ ، فنصف الدورة تضع النقطة على الجزء السالب من محور الفواصل.
2. أ صحيح. $\cos \frac{π}{2} = 0$ و $\sin \frac{π}{2} = 1$ ، فالعدد تخيّلي بحت طويلته $1$ .
3. أ صحيح. $∣ 5 e^{i θ} ∣ = 5 \times 1 = 5$ ، لأنّ الرمز الأسّي طويلته $1$ دائماً.
4. أ صحيح. $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ و $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، والضرب بـ $4$ يعطي $2$ و $2 \sqrt{3}$ .
5. ب صحيح. $e^{i \frac{π}{2}} = i$ ، والمعامل $\frac{3}{2}$ يضربه.
6. ج صحيح. الطويلة $2$ ، والشرطان $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin θ = \frac{1}{2}$ يعطيان $\frac{π}{6}$ .
7. ج صحيح. $3 \times 2 = 6$ للمعامل، و $\frac{π}{4} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{12} + \frac{2 π}{12} = \frac{5 π}{12}$ للزاوية.
8. أ صحيح. قسمة $2$ على $\frac{3}{2}$ تعطي $\frac{4}{3}$ ، وطرح الزاويتين يعطي $- \frac{π}{4}$ .
9. ب صحيح. $\overline{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}$ ، لأنّ المرافق انعكاس حول محور الفواصل.
10. ب صحيح. الأسّ يحمل الزاوية، والمبدأ لا يحدّد اتّجاهاً، فلا زاوية له.
11. ب صحيح. ${(e^{i θ})}^{n} = e^{i n θ}$ ، فالزاوية تصير $\frac{π}{2}$ .
12. ج صحيح. المجموع يحذف الجزأين التخيليّين ويترك $2 \cos θ$ .
13. أ صحيح. الطويلتان متساويتان بالضبط، والزاويتان متساويتان بمقياس $2 π$ .
14. أ صحيح. الإشارة السالبة تنتقل إلى الزاوية بإضافة $π$ ، فتصير الطويلة $2$ .
15. ج صحيح. هذه هي $U$ ، مجموعة الأعداد العقديّة التي طويلتها $1$ .
16. ب صحيح. الطويلة $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ ، والجزآن سالبان فالنقطة في الربع الثالث وزاويتها $- \frac{3 π}{4}$ .