الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: الشكل المثلّثي لعدد عقدي

الأعداد العقديّة . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما طويلة هذا العدد؟
$z = \sqrt{3} + i$
- أ) $4$
- ب) $\sqrt{3} + 1$
- ج) $2$
2. ما زاوية هذا العدد؟
$z = \sqrt{3} + i$
- أ) $\frac{π}{6}$
- ب) $- \frac{π}{6}$
- ج) $\frac{π}{3}$
3. اكتب هذا العدد بالشكل المثلّثي:
$z = 1 - i$
- أ) $\sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$
- ب) $\sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$
- ج) $2 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$
4. ماذا تعني هذه الكتابة؟
$θ = φ (2 π)$
- أ) $θ = φ$
- ب) $θ = 2 π φ$
- ج) $θ = φ + 2 π k, k \in Z$
5. ما طويلة هذا العدد؟
$z = - 2 (\cos \frac{π}{7} + i \sin \frac{π}{7})$
- أ) $\frac{π}{7}$
- ب) $2$
- ج) $- 2$
6. إذا كانت $\arg z = \frac{2 π}{5}$ ، فما زاوية مرافقه؟
- أ) $- \frac{2 π}{5}$
- ب) $\frac{2 π}{5} + π$
- ج) $\frac{2 π}{5}$
7. إذا كانت $\arg z = \frac{π}{4}$ ، فما زاوية معاكسه؟
- أ) $- \frac{π}{4}$
- ب) $\frac{π}{4} + π$
- ج) $\frac{π}{4} + 2 π$
8. عدد عقدي غير معدوم زاويته $π$ . أيّ وصف يصدق عليه؟
- أ)تخيّلي بحت
- ب)حقيقي سالب
- ج)حقيقي موجب
9. أيّ شرط يكفي وحده ليكون $z$ غير المعدوم حقيقياً؟
- أ) $\arg z = 0 (2 π)$
- ب) $∣ z ∣ = 1$
- ج) $\arg z = \frac{π}{2} (2 π)$
10. عدد طويلته $3$ وزاويته $- \frac{π}{4}$ . ما شكله الجبري؟
- أ) $\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i$
- ب) $3 - 3 i$
- ج) $\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i$
11. ما الجزء الحقيقي لعدد طويلته $r$ وزاويته $θ$ ؟
- أ) $r \cos θ$
- ب) $\frac{\cos θ}{r}$
- ج) $r \sin θ$
12. لماذا لا يُعرَّف $\arg 0$ ؟
- أ)لأنّ طويلته صفر وهذا ممنوع
- ب)لأنّ الصفر ليس عدداً عقدياً
- ج)لأنّ المبدأ لا يحدّد اتّجاهاً
13. اكتب هذا العدد بالشكل المثلّثي:
$z = - \sqrt{3} + i$
- أ) $2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$
- ب) $- 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$
- ج) $2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6})$
14. ما طويلة هذا العدد وما زاويته؟
$z = - 2 i$
- أ) $r = 2, θ = - \frac{π}{2}$
- ب) $r = - 2, θ = \frac{π}{2}$
- ج) $r = 2, θ = \frac{π}{2}$
15. إذا كان العددان مكتوبين بشكلهما المثلّثي ومتساويين، فماذا نستنتج؟
$r (\cos θ + i \sin θ) = r^{'} (\cos θ^{'} + i \sin θ^{'})$
- أ) $r = r^{'}, θ = θ^{'}$
- ب) $r = r^{'}, θ = θ^{'} (2 π)$
- ج) $r = r^{'}$
16. أيّ العبارات الآتية صحيحة دائماً لعدد عقدي غير معدوم؟
- أ) $\arg \overset{ˉ}{z} = - \arg z (2 π)$
- ب) $∣ \overset{ˉ}{z} ∣ = - ∣ z ∣$
- ج) $\arg (- z) = - \arg z (2 π)$

سلّم التصحيح

1. ج صحيح. $r = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4} = 2$ .
2. أ صحيح. $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin θ = \frac{1}{2}$ ، وكلاهما موجب، فالزاوية في الربع الأوّل.
3. ب صحيح. $r = \sqrt{2}$ ، والشرطان يعطيان $θ = - \frac{π}{4}$ .
4. ج صحيح. الزاوية صنف كامل من القيم، والقوس جزء من العبارة.
5. ب صحيح. الطويلة مسافة فهي موجبة. الإشارة تنتقل إلى الزاوية بإضافة $π$ .
6. أ صحيح. $\arg \overset{ˉ}{z} = - \arg z$ ، لأنّ المرافق انعكاس حول محور الفواصل.
7. ب صحيح. $\arg (- z) = π + \arg z$ . المعاكس يقع في الجهة المقابلة تماماً.
8. ب صحيح. الزاوية $π$ تضع النقطة على الجزء السالب من محور الفواصل.
9. أ صحيح، وهذا يعطي الحقيقي الموجب. الحقيقي السالب زاويته $π$ .
10. ج صحيح. $a = 3 \cos (- \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ و $b = 3 \sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
11. أ صحيح. الضلع الأفقي في المثلّث القائم.
12. ج صحيح. الزاوية تُقاس بين شعاعين، والنقطة المنطبقة على المبدأ لا تعطي شعاعاً.
13. ج صحيح. $r = 2$ ، والكوسينوس سالب مع جيب موجب، أي الربع الثاني.
14. أ صحيح. العدد تخيّلي بحت وجزؤه التخيلي سالب، فهو على الجزء السالب من محور التراتيب.
15. ب صحيح. الطويلة واحدة، والزاويتان متساويتان بمقياس $2 π$ .
16. أ صحيح. المرافق انعكاس حول محور الفواصل.