الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المعادلة من الدرجة الثانية ذات الأمثال الحقيقيّة

الأعداد العقديّة . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

  1. 1. احسب مميّز هذه المعادلة.

    z2+6z+34=0
    • أ)172
    • ب)−100
    • ج)100

  2. 2. معادلة من الدرجة الثانية بأمثال حقيقية مميّزها Δ<0. ماذا نستنتج عن حلولها في C؟

    • أ)لها حلّان عقديان مترافقان
    • ب)لا حلّ لها
    • ج)لها حلّ وحيد مضاعف

  3. 3. حلّ هذه المعادلة في C.

    z2−2(1+2)z+2(2+2)=0
    • أ)1+2±i
    • ب)−1−2±i
    • ج)1+2±2i

  4. 4. معادلة من الدرجة الثانية بأمثال حقيقية مميّزها معدوم. ما حلّها؟

    • أ)z=−b2a
    • ب)z=b2a
    • ج)لا حلّ لها

  5. 5. حلّ هذه المعادلة في C.

    z2+z+1=0
    • أ)−1±i3
    • ب)−1±i32
    • ج)−1±32

  6. 6. حلّ هذه المعادلة في C.

    2z2−6z+5=0
    • أ)3±i
    • ب)3±i4
    • ج)3±i2

  7. 7. إذا كان z1 و z2 جذري المعادلة z2+pz+q=0، فما مجموعهما؟

    • أ)z1+z2=p
    • ب)z1+z2=q
    • ج)z1+z2=−p

  8. 8. ما جداء جذري هذه المعادلة؟

    2z2−6z+5=0
    • أ)5
    • ب)−3
    • ج)52

  9. 9. جذرا المعادلة z2+6z+34=0 هما −3−5i و −3+5i. ما تفريق كثير الحدود؟

    z2+6z+34
    • أ)(z+3+5i)(z+3−5i)
    • ب)(z−3−5i)(z−3+5i)
    • ج)(z+3+5i)(z+3+5i)

  10. 10. معادلة من الدرجة الثانية بأمثال حقيقية يحقّقها العدد 1+2i. ما جذرها الثاني؟

    • أ)−1−2i
    • ب)1−2i
    • ج)2+i

  11. 11. هل يمكن أن يكون العددان 1+2i و 3−5i جذري معادلة من الدرجة الثانية بأمثال حقيقية؟

    • أ)نعم، فلكلّ عددين معادلة من الدرجة الثانية
    • ب)لا، لأنّهما ليسا مترافقين
    • ج)نعم، إذا اخترنا a مناسباً

  12. 12. كم جذراً تربيعياً للعدد −100 في C؟

    • أ)جذر واحد هو 10i
    • ب)لا جذر له
    • ج)جذران هما 10i و −10i

  13. 13. احسب مميّز هذه المعادلة، حيث θ عدد حقيقي.

    z2−2(cos⁡θ)z+1=0
    • أ)4cos⁡2θ−1
    • ب)−4sin⁡2θ
    • ج)−2sin⁡2θ

  14. 14. معادلة بأمثال حقيقية مميّزها سالب. ما الذي يشترك فيه جذراها؟

    • أ)الجزء الحقيقي
    • ب)الجزء التخيلي
    • ج)الجزآن كلاهما

  15. 15. حلّ هذه المعادلة في C.

    z2−5z+9=0
    • أ)5±i112
    • ب)−5±i112
    • ج)5±i612

  16. 16. بعد تفريق المعادلة z4+4z3+6z2+4z−15=0 بقي أن نحلّ هذا العامل. ما حلّاه؟

    z2+2z+5=0
    • أ)−2±4i
    • ب)1±2i
    • ج)−1±2i

سلّم التصحيح

  1. 1. ب صحيح. Δ=62−4⋅1⋅34=36−136=−100.
  2. 2. أ صحيح. الحلّان −b±i−Δ2a: الجزء الحقيقي واحد فيهما والجزء التخيلي متعاكس.
  3. 3. أ صحيح. b2=4(3+22)=12+82 و 4ac=82+16، فيكون Δ=−4 و i4=2i، والحلّان 2(1+2)±2i2.
  4. 4. أ صحيح، ونسمّيه جذراً مضاعفاً لأنّ العاملين في التفريق ينطبقان.
  5. 5. ب صحيح. Δ=1−4=−3، فيدخل i3 في البسط والمقام 2.
  6. 6. ج صحيح. Δ=36−40=−4 و i4=2i، فيكون 6±2i4=3±i2.
  7. 7. ج صحيح. من التفريق z2+pz+q=(z−z1)(z−z2) يخرج p=−(z1+z2).
  8. 8. ج صحيح. z1z2=ca=52.
  9. 9. أ صحيح. الصيغة a(X−z1)(X−z2) مع a=1، والجداء يعطي (z+3)2+25=z2+6z+34.
  10. 10. ب صحيح. الأمثال حقيقية، فمرافق كلّ جذر جذرٌ أيضاً، والجذران يأتيان معاً.
  11. 11. ب صحيح. عند أمثال حقيقية يكون الجذران إمّا حقيقيين وإمّا مترافقين، ومرافق 1+2i هو 1−2i لا 3−5i.
  12. 12. ج صحيح. كلّ عدد عقدي غير معدوم له جذران متعاكسان، ومن هنا تأتي الإشارة ± في صيغة الحلّين.
  13. 13. ب صحيح. Δ=4cos⁡2θ−4=−4(1−cos⁡2θ)=−4sin⁡2θ، وهو سالب أو معدوم دائماً.
  14. 14. أ صحيح. كلاهما جزؤه الحقيقي −b2a، ولذلك تقع صورتاهما متناظرتين حول محور الفواصل.
  15. 15. أ صحيح. Δ=25−36=−11، والمعاكس 11 جذره 11، فيدخل i11 في البسط.
  16. 16. ج صحيح. Δ=4−20=−16 و i16=4i، فيكون −2±4i2=−1±2i.